超関数に積は定義できない

という内容の論文をSchwartzが書いている（Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions）．3ページしかなくて簡単なので読んでみた．定理は次の通り．

$\mathbb{R}$上の$\mathbb{R}$値連続関数からなる代数を部分代数として含む微分付き$\mathbb{R}$代数であり（ただし$C^{1}$級関数上微分は通常の微分と一致するとする），$x$（$x\mapsto x$となる関数）が零因子である（つまり，ある$0\ne \delta\in V$が存在して$x\delta = 0$）ようなものは存在しない．

そのような実代数$R$が存在したとする．微分を$D\colon R\to R$で表す．$f(x) = x\log(x) - x\in R$とする．$(D^{2}f)x = D^{2}(xf) - 2D(f)D(x) - fD^{2}(x)$において，$D(x) = 1,D^{2}(x) = 0$であるから$(D^{2}f)x = D^{2}(xf) - 2D(f)$．$xf$は微分可能で，その微分は$2x\log(x) + x - 2x = 2f + x$なので，$D^{2}(xf) - 2D(f) = 2D(f) + D(x) - 2D(f) = 1$．従って$(D^{2}f)x = 1$となり$x\in R$は単元．従って零因子とはならない．