セミナー．分裂型簡約群に付随するプロp岩堀Hecke環の単純加群の大域次元が有限になるためには，という話．基本的には超特異表現が悪さをしてそうなわけで，それを特定しておこうという話．環の大域次元は無限であることが知られている．低階数の場合に確認してみたというわけで，階数1半単純，$p$が$\pi_1$の位数を割らない場合には，単純加群がアフィンHecke環を経由しない超特異表現であることと大域次元が無限であることが同値，となる．

アフィンHecke環を経由する場合には，大域次元が有限になるらしい．アフィンHecke環で階数2の場合には，やはり半単純，$p$が$\pi_1$の位数を割らないという仮定のもとで，超特異と大域次元無限が同値になる．

超特異表現のExtを計算するという証明ではなくて，それ以外が有限であることを示して，環の大域次元が無限であることから導こうということのようだ．階数1の場合には超特異表現でなければ主系列の部分商になるが，この大域次元が1以下であることをOllivier-Schneirderのresolutionから導く．このresolutionは一般には各項がprojectiveではないのだが，主系列の部分商の場合にはprojectiveになる，ということを示していた．一般にA型半単純で示していた．（全ての点がhyperspecialであることを使うらしい．）階数2の場合も同じことを示すのだが，この場合は直接計算．

ちなみに$p$が$\pi_1$の位数を割らないという仮定は必要で，たとえば$G = \mathrm{PGL}_2$，$p = 2$の場合に自明表現同士の拡大は上の方はずっと$1$次元になるらしい．