放物型部分群$P$のLevi商の表現$\sigma$が，より大きな放物型部分群の表現に拡張できることがある．明らかなのが自明表現の場合で，この場合は全体まで伸びる．伸びるような最大の放物型部分群$P(\sigma)$は，ルート系の言葉で書くことができる．どっかにあるかと思い，必要になった時に探してみたけど，見つけられなくてちょっとびっくりした．そのとき必要になったのはもう少しシンプルな場合で，ルート系が直行するように$\Delta = \Delta_1\cup \Delta_2$と分解していて，上の$P$が$\Delta_1$に対応する放物型部分群な場合．この場合，$\Delta_2$に対応する放物型部分群のLevi部分を$M_2$として，$M_2'$を（位相群としての）交換子群，$Z$を極小放物型部分群のLevi部分群とすると，もし$\sigma$が$Z\cap M'_2$上自明ならば，$\sigma$は$G$への拡張であって，$M_2'$が自明に作用するものを持つ．

ということのHecke環バージョンが必要で以前考えた．$P$のLevi部分群$M$のHecke環は$G$のHecke環に入るわけではないので，「拡張である」ということの意味は非自明である．放物型誘導表現を$I_P(\sigma) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{H}_M^-}(\mathcal{H},\sigma)$というように定義していたので，$\sigma$の拡張が$I_P(\sigma)$に入るようにと$\mathcal{H}_M^-$上で一致するようにという条件を課した．（$\mathcal{H}_M^-$は$P$の冪単根基のコンパクト部分群を広げるような元全体に台を持つHecke環．）これはうまく機能した．

そのときは気づかなかったのだが，先週話していたら，どうも妙だということに気がついた．最初の拡張の定義は，正ルート系をどうとったかは関係ない．一方で，$\mathcal{H}_M^-$は正ルート系の取り方に依存する．どうも話した結果，正ルート系に依存せずに定義を書くことができるようだ．もちろん上での定義は正ルート系に依存しない定義と一致する．最初に考えたときに気づくべきだったなぁ．