ブルバキセミナーでWilliamsonの話を聞いてきた．Hodge理論的分解定理の証明について．分解定理はスムーズかつ固有な射$f\colon X\to Y$に対して$f_*\mathbb{R}_X$が半単純という定理で，最初の証明はウェイトを使ったもの．それの別証明を紹介します，という内容．$\dim Y$と$f$がどのくらいsemi-smallかの二つに関する帰納法なんだそうだ．というわけでbasis stepは$\dim Y = 0$の時（当たり前）と$f$がsemi-smallの時．$f$がsemi-smallの時の話をしておわっていた．この場合，たとえば$\dim X = 2m$が偶数で，$y\in Y$が$\dim f^{-1}(y) = m$とすると，$i_{y*}\mathbb{R}$が$f_*\mathbb{R}_X$の直和因子に入ることを示すことになる（後は帰納法とかでどうにかする）．これは$\mathrm{Hom}(i_{y*}\mathbb{R},f_*\mathbb{R}_X)\times \mathrm{Hom}(f_*\mathbb{R}_X,i_{y*}\mathbb{R})\to \mathrm{End}(i_{y*}\mathbb{R}) = \mathbb{R}$が非退化ということから従う．このparingがファイバーにおけるinersection formの計算と見なせ（ここで偏屈層とかの計算だったのがモロに幾何的な対象になる！），更に$X$内で計算することで，実は正定値か負定値になって，特に非退化なんだそうだ．とノートをとっていないので間違っているかも．