この前の$D^\times$の既約表現が有限次元なの，こんな感じでしょうか．$G$を位相群，$Z$をその中心とし，次を仮定する：$G/Z$はコンパクトで，あるコンパクト部分群$Z_0$が存在して$Z/Z_0$は有限生成．このとき$G$の既約スムーズ表現$\pi$は有限次元である．

まず$G = Z$の時を示す．$0$でない$v\in \pi$をとると，$\pi = \langle Zv\rangle$は$Z/\mathrm{Stab}_Z(v)$表現．$Z/\mathrm{Stab}_Z(v)$は$Z_0$の存在により有限生成なので，既約表現は一次元である．

一般の場合を示す．やはり$0$でない$v\in \pi$をとると，$\langle Gv\rangle = \pi$．$G/\mathrm{Stab}_G(v)Z$（これは有限集合）の代表元を$g_1,\ldots,g_r$とすると，$\pi = CZg_1v + \cdots + CZg_rv$（$C$は係数体）．よって$\pi$は$Z$の表現として有限生成なので，$Z$表現としての既約商$\pi\twoheadrightarrow \nu$が存在する．既に示したことより$\nu$は一次元で，また単射$\pi \hookrightarrow \mathrm{Ind}_Z^G\nu$が存在する．これより$Z$は$\pi$に$\nu$で作用する．よって$\pi = CZg_1v + \cdots + CZg_rv = Cg_1v + \cdots + Cg_rv$となり，$\pi$も有限次元．