というわけで\penaltyを保存＆復帰させてみる．

\documentclass{jsarticle}
\newcount\savepenalty
\newcommand\myfootnote[1]{\savepenalty=\lastpenalty\message{penalty = \the\savepenalty}\unpenalty\footnote{#1}\penalty\savepenalty}
\begin{document}
\parbox{5zw}{あああ「\myfootnote{注}ああ}
\end{document}

想定通り．jlreq.clsでもやってみよう．

\documentclass[platex]{jlreq}
\pagestyle{empty}
\newcount\savepenalty
\newcommand\myfootnote[1]{\savepenalty=\lastpenalty\message{penalty = \the\savepenalty}\unpenalty\footnote{#1}\penalty\savepenalty}
\begin{document}
\parbox{5\zw}{あああ「\myfootnote{注}ああ}
\end{document}

あれ？コンソールへの出力を見ても\lastpenaltyが取得できていないらしい．文字クラス0との間にグルーがあるとだめそうね．

\documentclass{jsarticle}
\pagestyle{empty}
\postbreakpenalty`」=10000 % jis.tfmで」は文字クラス2，2と0の間には半角分のJFM glueがある．
\newcount\savepenalty
\newcommand\myfootnote[1]{\savepenalty=\lastpenalty\message{penalty = \the\savepenalty}\unpenalty\footnote{#1}\penalty\savepenalty}
\begin{document}
」\myfootnote{あ}あ
\end{document}

とするとpenalty = 0となる．\lastnodecharを使った方がよいのかもしれない．

というかJFMのそうだけど自動挿入を手動でどうこうするのがつらい．\X ... \Yとかすると\Xと\Yの間を無視してJFMとか禁則とかを復活させてくれる魔法のマクロはないですか？