任意の$x$が$x^2 = x$を満たすならば可換，ってのはよく知られている．まず$(x + y)^2 = x + y$と$x^2 = x$，$y^2 = y$から$xy + yx = 0$を導き，それと$x = 2$とおいて出てくる$2 = 0$から従う．ほかの先生が，これを演習に出したらしいのだが，その後学生さんたちが「じゃぁ$x^3 = x$ならばどうだろう」と考えて，最終的に$2xy = 2yx$が出ることを導いたらしい．

んじゃぁ$x^n = x$ならば$(n - 1)xy = (n - 1)yx$なのだろうかとググってみたら，そもそも任意の$x$が$x^3 = x$を満たすならば実は可換らしい．というか，より「強く任意の$x$に対してある$n(x)>1$が存在して$x^{n(x)} = x$」という条件から可換性が出るらしい．証明はまだ読んでいないのですが……．これこれならば可換って定理いっぱいあるなぁ．