2017年10月10日

任意の$x$が$x^2 = x$を満たすならば可換,ってのはよく知られている.まず$(x + y)^2 = x + y$と$x^2 = x$,$y^2 = y$から$xy + yx = 0$を導き,それと$x = 2$とおいて出てくる$2 = 0$から従う.ほかの先生が,これを演習に出したらしいのだが,その後学生さんたちが「じゃぁ$x^3 = x$ならばどうだろう」と考えて,最終的に$2xy = 2yx$が出ることを導いたらしい.

んじゃぁ$x^n = x$ならば$(n - 1)xy = (n - 1)yx$なのだろうかとググってみたら,そもそも任意の$x$が$x^3 = x$を満たすならば実は可換らしい.というか,より「強く任意の$x$に対してある$n(x)>1$が存在して$x^{n(x)} = x$」という条件から可換性が出るらしい.証明はまだ読んでいないのですが…….これこれならば可換って定理いっぱいあるなぁ.

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