半単純性

以下の同値な条件が成り立つときに半単純という．

$A$を環，$M$を左$A$加群とすると以下は同値．

1. $M$は単純加群の族の直和$M = \bigoplus_{\lambda\in \Lambda}L_\lambda$として書かれる．

2. $M$は単純加群の族の和$M = \sum_{\lambda\in \Lambda}L_\lambda$として書かれる．

3. 任意の部分$A$加群$N\subset M$に対してある部分$A$加群$N'\subset M$が存在し$M = N\oplus N'$．

証明は（示す気になれば）そんなに難しくない．

定理1の2の条件を仮定する．部分加群$N\subset M$が全体ではないならばある$\lambda\in\Lambda$が存在して$N\cap L_\lambda = 0$．

$N$は全体ではないので，2の条件が仮定されていることからある$\lambda\in\Lambda$が存在して$L_\lambda\not\subset N$．このとき$N\cap L_\lambda\subsetneq L_\lambda$であるので，$L_\lambda$の単純性から$N\cap L_\lambda = 0$．

まず1と2の同値性を示そう．1から2が導かれることは明らかなので，逆を示す． $M = \sum_{\lambda\in \Lambda}L_\lambda$と書いておき，$\Lambda_0$を$\sum_{\lambda\in\Lambda_0}L_\lambda$が直和となるような$\Lambda_0\subset\Lambda$の中で極大なものとする（Zornの補題）．$N = \sum_{\lambda\in\Lambda_0}L_\lambda$とおき，$N\ne M$を仮定すると，補題2からある$\lambda\in \Lambda$に対して$N\cap L_\lambda = 0$．$\Lambda_0' = \Lambda\cup \{\lambda\}$とおくと$N + L_\lambda = \sum_{\lambda\in\Lambda_0'}L_\lambda$は直和となるが，これは$\Lambda_0$の極大性に反する．

2と3の同値性を示す．まずは2を仮定し3を示そう．$N\subset M$を部分$A$加群とする． $N'\subset M$を$N'\cap N = 0$となる部分加群の中で極大なものとする（Zornの補題）． もし$N' + N\ne M$ならば，補題2からある$\lambda\in \Lambda$が存在して$L_\lambda\cap (N' + N) = 0$． これから$N\cap (N' + L_\lambda) = 0$となり，$N'$の極大性に反する．

最後に3から2を導く．左$A$加群$M$が3の条件を満たすときに$M$は完全可約であると言うことにする．

$0$でない有限生成左$A$加群は単純商を持つ．

$M\ne 0$が有限生成ならば，$M$と異なる部分加群全体は極大元$N$を持つ（Zornの補題）．極大性から$M/N$は単純である．

完全可約左$A$加群の部分加群は完全可約．

$M$が完全可約であるとし，$N\subset M$を部分加群とする．$N_0\subset N$を部分加群とすると$M$は完全可約なのである$M'$が存在して$M = N_0\oplus M'$．このとき$N = N_0\oplus (M'\cap N)$である．

$M$が完全可約であるとし，$N = \sum_{L\subset M}L$とおく．ただし$L$は$M$の単純部分加群全体を走る．部分加群$N'$を$M = N\oplus N'$ととり，$N'\ne 0$と仮定する．$n\in N'$を$0$でない元とすると，$An\subset N'$は$0$でない有限生成な$M$の部分加群．補題3からこれは既約商$An\to L$を持ち，補題4から$An$は完全可約である．$N_0 = \mathop{\mathrm{Ker}}(An\to L)$に完全可約性を適用すると$An = N_0\oplus N_0'$となる$N'_0$が存在し，$N'_0\simeq An/N_0 \simeq L$は単純である．$N'_0\subset An\subset N'$を得て，$N'\cap N = 0$であるから$N'_0\not\subset N$．これは$N$の定義に反する．

ちなみに有限群の表現の（標数が位数と異なる場合の）単純性については，通常の証明で3が簡単に示せるので1も成り立つ．