たまには数学のメモ．

簡約群$G$の中心$Z_G$が連結ならば，fundamental coweightが存在する．$T$を極大トーラス，$\Delta$を単純ルートの集合とすると，$Z_G = \{t\in T\mid \alpha(t) = 1\ (\alpha\in \Delta)\}$であるので，$X^*(Z_G) = X^*(T)/\sum_{\alpha\in \Delta}\mathbb{Z}\alpha$，つまり $0 \to \bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\alpha\to X^*(T)\to X^*(Z_G)\to 0$ は完全である．$Z_G$が連結ならば，$X^*(Z_G)$は自由$\mathbb{Z}$加群であるので，この完全系列は分裂する．その分裂を$f\colon X^*(T)\to \bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\alpha$とし，$f(x) = \sum f_\alpha(x)\alpha$とすると，$f_\alpha\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(X^*(T),\mathbb{Z}) = X_*(T)$で，$f$が分裂を与えているという仮定から，$f_\alpha$が$\alpha$に関するfundamental coweightとなる．

一方，任意の簡約群$G$に対して，中心が連結な簡約群$G_1$とそれへの埋め込み$G\hookrightarrow G_1$で，この埋め込みが導来群上の同型を与えるものが存在する（双対$z$拡大）．実際の構成も簡単で，$T$を$G$の極大トーラス（実際には$Z_G$が埋め込めるトーラスならば何でもよい）として，$G_1 = (G\times T)/Z_G$とすればよい．ただし，$Z_G\hookrightarrow G\times T$は$z\mapsto (z,z^{-1})$と定める．このとき$G_1$の中心は$(Z_G\times T)/Z_G\simeq T$となることが容易にわかり，$G_1$の中心は連結となる．

この場合，$G_1$の極大トーラス$T_1$に対して，分裂$X^*(Z_{G_1})\to X^*(T_1)$を具体的に書くこともできる．$T_1$は$T_1 = (T\times T)/Z_G$で与えられる．$\lambda\in X^*(Z_{G_1}) = X^*(T)$に対して，$T\times T\to \mathbb{G}_{\mathrm{m}}$を$(t_1,t_2)\mapsto \lambda(t_1t_2)$と定めると，これは$T_1 = (T\times T)/Z_G\to \mathbb{G}_{\mathrm{m}}$に落ちて，この対応$X^*(Z_{G_1}) \to X^*(T_1)$は$X^*(T_1)\to X^*(Z_{G_1})$の分裂を与える．