2018年3月19日

たまには数学のメモ.

簡約群GGの中心ZGZ_Gが連結ならば,fundamental coweightが存在する.TTを極大トーラス,Δ\Deltaを単純ルートの集合とすると,ZG={tTα(t)=1 (αΔ)}Z_G = \{t\in T\mid \alpha(t) = 1\ (\alpha\in \Delta)\}であるので,X(ZG)=X(T)/αΔZαX^*(Z_G) = X^*(T)/\sum_{\alpha\in \Delta}\mathbb{Z}\alpha,つまり 0αΔZαX(T)X(ZG)0 0 \to \bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\alpha\to X^*(T)\to X^*(Z_G)\to 0 は完全である.ZGZ_Gが連結ならば,X(ZG)X^*(Z_G)は自由Z\mathbb{Z}加群であるので,この完全系列は分裂する.その分裂をf:X(T)αΔZαf\colon X^*(T)\to \bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\alphaとし,f(x)=fα(x)αf(x) = \sum f_\alpha(x)\alphaとすると,fαHomZ(X(T),Z)=X(T)f_\alpha\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(X^*(T),\mathbb{Z}) = X_*(T)で,ffが分裂を与えているという仮定から,fαf_\alphaα\alphaに関するfundamental coweightとなる.

一方,任意の簡約群GGに対して,中心が連結な簡約群G1G_1とそれへの埋め込みGG1G\hookrightarrow G_1で,この埋め込みが導来群上の同型を与えるものが存在する(双対zz拡大).実際の構成も簡単で,TTGGの極大トーラス(実際にはZGZ_Gが埋め込めるトーラスならば何でもよい)として,G1=(G×T)/ZGG_1 = (G\times T)/Z_Gとすればよい.ただし,ZGG×TZ_G\hookrightarrow G\times Tz(z,z1)z\mapsto (z,z^{-1})と定める.このときG1G_1の中心は(ZG×T)/ZGT(Z_G\times T)/Z_G\simeq Tとなることが容易にわかり,G1G_1の中心は連結となる.

この場合,G1G_1の極大トーラスT1T_1に対して,分裂X(ZG1)X(T1)X^*(Z_{G_1})\to X^*(T_1)を具体的に書くこともできる.T1T_1T1=(T×T)/ZGT_1 = (T\times T)/Z_Gで与えられる.λX(ZG1)=X(T)\lambda\in X^*(Z_{G_1}) = X^*(T)に対して,T×TGmT\times T\to \mathbb{G}_{\mathrm{m}}(t1,t2)λ(t1t2)(t_1,t_2)\mapsto \lambda(t_1t_2)と定めると,これはT1=(T×T)/ZGGmT_1 = (T\times T)/Z_G\to \mathbb{G}_{\mathrm{m}}に落ちて,この対応X(ZG1)X(T1)X^*(Z_{G_1}) \to X^*(T_1)X(T1)X(ZG1)X^*(T_1)\to X^*(Z_{G_1})の分裂を与える.

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