Verma加群とかにはJantzen filtrationというフィルトレーションがあって，それに対してJantzen sum formulaというのが成り立つ．低ランクの時にはVerma加群の組成列が計算できたりする．一般の場合にこれだけで計算できるわけじゃないけど，結構強力な式．

証明するには，簡単な議論でShapovalov determinant formulaに帰着できて，それを使うというのがよくあるやつ．ただ，他の証明ないかなーと思ってググってみたら，代数群の表現の場合だがSum formulas for reductive algebraic groupsというのが見つかった．簡単なホモロジー代数による議論でJantzen sum formulaがあるExtの交代和の計算に帰着される．さらに後者はAndersenによるtilting moduleに対する似たような公式とも同値で，結果としてこの三つが同値になる．Andersenによる公式のもとの証明はA sum formula for tilting filtrationsにあるが，translation functorによる帰納法をするだけ．というわけで，これで別証明になっていそう．試しにcategory $\mathcal{O}$でも同じ証明が動くか見てみたのだが，多分動いていると思う．