学会への参加のため東北大学に来ています．今日の特別講演のスーパー代数群の表現論が面白かった．（以下は間違いを含む可能性がある．）

簡約代数群の代数的な表現論は，定義体の標数が0の時は本当に古典的だし，正標数でもそれなりに以前から調べられていて特に最近も進展している．一方スーパーLie環の表現論も結構調べられているという印象．一方で，スーパー代数群の表現論はあまり調べられていなかったらしく，それでちょっとやってみているという話．distribution algebraの話はほぼ平行に進むようで，特に標数が0ならばスーパーLie環の表現圏に埋め込める．なので，正標数の方が，という話し方に見えた．Borel-Weilの構成はそのまま進み，すべての既約表現を与える．ただし0でない表現を与えるようなウェイトは，もちろん支配的ではあるのだが支配的ウェイト全部とはならないことがあるらしい．「よい」部分群を持つスーパー代数群に対しては（例えばGL(n|m)とかはそう）even partの表現との比較ができて，通常の代数群の結果から支配的ウェイトがすべて0でない既約表現を与えることや，Weylの指標公式などが出るようだ．ただ一般についてはよくわからなそう．後は適当な条件下（これがどのくらい強い条件なのかはよくわからないが）ではSteinbergのテンソル積定理類似も示される．この条件に「代数閉体」が入っているのがちょっと面白かった．おそらくスーパーな極大トーラスの既約表現が絶対既約とは限らないからではないかと想像．

スーパーLie環も正標数の代数群の表現も難しいので，その両者が合わさると大変そうだなぁと言う印象．一方Borel-Weilのような本当に基本的なことまで全く考えられていなかったのはちょっと意外でもある．今日の話は代数群と同様のことが成り立ちますという話だったけど，いろいろと現象が変わることもありそうで，そういうところを捉えるのは難しそうだなぁと思った素人でした．極大トーラスの表現が完全可約じゃないとかそれだけで恐ろしい……．多分最高ウェイト圏みたいにはなっていないんだろうなぁ．