2016年2月5日

続き

標数$p > 0$の場合

本題.$k$を標数$p > 0$の閉体,$G$を$k$上の連結簡約代数群とし,$G$の代数的な表現のなす圏$\mathrm{Rep}G$を考える.極大トーラス$T$を固定し,$\mathbf{X} = X^*(T)$,$\Phi\subset \mathbf{X}$をルート全体とする.また$\mathbf{X}^+$を支配的な元全体とする.(記号を変えて)Weyl群を$W_{\mathrm{f}}$と書き,$w\in W = W_{\mathrm{f}}\ltimes \mathbb{Z}\Phi$を(双対群の)affine Weyl群とする.これは“p-dilated dot action”により$\mathbf{X}$に作用する.この作用を$w\cdot \lambda$($w\in W,\lambda\in \mathbf{X}$)と書く.

$\lambda\in \mathbf{X}^+$に対して最高ウェイト$\lambda$の既約表現$L(\lambda)$が存在し,$\mathrm{Rep}G$の既約表現はこれで尽きる.また$p > h$($h$はCoxeter数)と仮定し,$\lambda_0\in \mathbf{X}^+$を全ての正ルート$\alpha$に対して$0 > \langle \alpha,\lambda_0 + \rho\rangle < p$を満たすものとして固定し,$\mathrm{Rep}_0G$を$L(\lambda_0)$を含むブロックとする.$\mathrm{Rep}_0G$の既約表現全体は$\mathbb{L}(w\cdot \lambda_0)$となる.なお,$w\cdot \lambda_0$は支配的である必要がある.これは次のように言い換えられる.${}^{\mathrm{f}}W$を$W_{\mathrm{f}}\backslash W$の最短長さを持つ代表元全体とすると,$w\mapsto w\cdot \lambda_0$により${}^{\mathrm{f}}W\simeq W\cdot \lambda_0\cap \mathbf{X}^+$となる.

$\mathrm{Rep}_0G$も最高ウェイト圏であり,標準加群$\Delta(w)$,余標準加群$\nabla(w)$を持ち,$\{[\Delta(w)]\}$はGrothendieck群$[\mathrm{Rep}_0G]$の基底となる.よって同型$[\mathrm{Rep}_0G]\simeq \bigoplus_{w\in {}^{\mathrm{f}}W}\mathbb{Z}w$を得る.この場合もwall-crossing functor $\Xi_s$が,今度はaffine Weyl群$W$の単純鏡映全体$S$の元$s$ごとに存在し,やはり$[\mathrm{Rep}_0G]$は右$W$表現の構造を持つ.これを加味して右辺を変えると,次の$W$表現としての同型: \[ [\mathrm{Rep}_0G] \simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathbb{Z}[W_{\mathrm{f}}]}\mathbb{Z}[W] \] を得る.ただし$\mathrm{sgn}(w) = (-1)^{\ell(w)}$は符号表現である.

この同型をcategorifyしたい.

diagramatic Hecke category

圏$\mathcal{O}$における$\mathrm{BS}$の類似が必要となる.$\mathrm{BS}$は係数が標数正でも定義されるが,これは正しい対象にはならない.その代わりに,Elias-Williamsonにより導入されたdiagramatic Hecke category $\mathcal{D}$を使う.

$\mathcal{D}$はその名の通りdiagramaticに定義される.$\mathcal{D}$の対象は$S$の元の列$(s_1,\ldots,s_r)$である.これを横に点々と並べて書く.射はこの点々の間を結ぶグラフ全体(で特別な形をしたもの)であり,適当な関係式(すげー複雑)で割られている.構成はやたら複雑だが,$\mathrm{BS}$と同じような性質を持っている.

  • 次数構造を持つ加法圏である.
  • $(s_1,\ldots,s_r)\otimes (s'_1,\ldots,s'_{r'}) = (s_1,\ldots,s_r,s'_1,\ldots,s'_{r'})$によりモノイド圏の構造が入る.
  • 各$w\in W$に対して対象$B_w$が定まり,$\mathcal{D}$のindecomposableな対象はこれとそのシフトで尽きる.
  • 環同型$\mathrm{ch}\colon [\mathcal{D}]\simeq \mathcal{H}$が存在する.
  • 係数体の標数が$0$ならば$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}$と圏同値になる..

さきほどの同型の右辺は$\mathbb{Z}[W]$ではなかったので,これから少し変更する必要がある.圏$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$を,対象は$\mathcal{D}$と同じもの,射を \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(X,Y)/ I(X,Y),\] ただし$I(X,Y)$は$X$から$Y$への射で,ある$w\notin {}^{\mathrm{f}}W$に対して$B_w$を経由するもの,とすることで定める.すると,$\mathrm{ch}$は同型 \[ [\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}] \simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathcal{H}_{\mathrm{f}}}\mathcal{H} \] を定める.ただし$\mathcal{H}_{\mathrm{f}}$は有限Weyl群に対するHecke環で,$\mathrm{sgn}$はその符号表現.

$\mathcal{D}$の対象をテンソルすることで,$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$には$\mathcal{D}$が作用する.そこから$[\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}]$は$[\mathcal{D}] \simeq \mathcal{H}$加群の構造を持つ.上の同型は$\mathcal{H}$加群としての同型である.

$\mathrm{ch}(B_w)$を$p$-canonical basisという.

この基底を計算するアルゴリズムがある.また,$w$を固定すると,十分大きな$p$に対してこれはKazhdan-Lusztig基底と一致する.ただし,この$p$を$w$によらずにとることはできない(らしい).

tilting加群

$X\in \mathrm{Rep}G$のフィルトレーションが$\Delta$-flag(resp. $\nabla$-flag)とは,その隣接商が$\Delta(\lambda)$(resp. $\nabla(\lambda)$)と同型なことである.$X$は$\Delta$-flagと$\nabla$-flagを持つ時,tiltingであると呼ばれる.これは次の性質を持つ.

  • 直和,直和因子について閉じていて,tilting加群全体のなす圏$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}G)$は加法圏.
  • wall-crossing functorについて閉じている.よって$[\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)]$は$\mathbb{Z}[W]$加群の構造を持つ.
  • $X$の$\Delta$-filtrationの隣接商における$\Delta(\lambda)$の数を$(X:\Delta(\lambda))$と書くと,これは$\Delta$-flagの取り方によらず,$[X]\mapsto \sum_{w\in {}^{\mathrm{f}}W}(X:\Delta(w\cdot \lambda_0))w$は$W$表現としての同型$[\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)]\simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathbb{Z}[W_{\mathrm{f}}]}\mathbb{Z}[W]$を与える.
  • $\lambda\in \mathbf{X}^+$に対してindecomposable tilting加群$\mathbb{T}(\lambda)$が存在し,$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}G)$のindecomposable tilting加群はこれで尽きる.

というわけで予想は次の通り.$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$を$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$の次数を忘れたものとする.

同型$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)\simeq \mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$で$\mathbb{T}(w\cdot \lambda)$を$B_w$に送るものが存在する.

もしこの予想が正しければ,右辺には圏$\mathcal{D}$が作用するので,左辺にも作用することになる.これから$\mathrm{Rep}_0G$に$\mathcal{D}$が作用する.

$\mathrm{Rep}_0G$への$\mathcal{D}$の作用が存在する.(生成元の行き先などは指定されている.)

実は後ろの予想は前の予想を導く.

もし$\mathrm{Rep}_0G$への$\mathcal{D}$の作用が存在すれば,$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)\simeq \mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$.

もちろん関手は作用を使って$B\mapsto \mathbb{T}(\lambda_0)B$により与えられる.Homの間の同型を示せば良いのだが,wall-crossing functorの解析をうまくしているように見える.(tilting加群の方が少し大変っぽい.前者と次元の評価でしている.)

予想の帰結として,$[\mathbb{T}(w\cdot \lambda)]$の指標は$p$-canonical basisで記述されることが従う.ここまでの話は($\lambda_0$が存在しなければならないので)$p > h$を仮定していたが,この事実は常に成り立つと予想している.もちろん,$\lambda_0$が存在すれば,translation functorによってこれは$\lambda_0$の場合に帰着される.

予想から,あれ,$\mathrm{Rep}_0G$に$R$の作用が入るのかと思ったけど,$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$に言った段階で$R\to k$を経由してしまうらしい.($s = s_\alpha$に対して$\alpha^\vee$倍が$B_e\to B_s\to B_e$で実現できるので.)

0 件のコメント:

コメントを投稿

コメントの追加にはサードパーティーCookieの許可が必要です