2017年10月24日

予報通りいい天気.久しぶりに快晴の空を見た.紅葉は昨日の雨と風でやや落ちちゃったみたいだけど,まだまだ綺麗.観光客も多い.

2017年10月23日

本州は台風のようですが,札幌は寒さ.台風の影響ではあるようですが.最高気温が5度とか,さすがの札幌でもおかしな寒さになっています.(10月の最高気温の平均は17度くらいらしい.)朝のうちは雪(みぞれ?)が降っていたり.今は雨になったけど.去年もこのくらいの時期に雪ふったんだよなぁ.しかも去年は積もっていた.

帰ってきたら紅葉が綺麗.残念ながら今日は雨だけど.まだ落ちるわけではないようなので,明日に期待.

2017年10月22日

投票行ってきた.実は自分の投票回数は(体感によれば)少なくて,記録をたどる限りは参議院の場合大体3回に1回くらいしか言っていない.ちなみに前回の参議院選挙はパリにいて,制度があまりよくわかっていなかったせいで投票できなかった.その前の衆議院選挙は投票日を含むそれなりに長い間家を空けていたので断念.なんかいわゆる選挙にいかない若者ですが,別に投票に興味がないわけじゃないんだけどなぁ.うーむ.

2017年10月21日

全日程終了し,今日札幌に帰る予定.伊丹より近いので,久しぶりに関西国際空港から.台風のせいで,那覇行きには引き返すかもしれないという表示.札幌行きは問題ないけど.台風とは関係ないのだろうけど,大阪滞在中毎日雨だった.

2017年10月20日

集中講義最終日.そっちは大体予定通り進んでいるのでまぁいいんだけど,科研費書類はなかなか進まず.やっぱりかなり時間を使うなぁ.週末までにはいったん書き上げたい.

2017年10月18日

今週は大阪市立大学で集中講義.合間に科研費書類書いていますが…….クラスファイルをjlreqにするか悩み中(どうでもいい).ぞうの卵はおいしいぞう.

2017年10月15日

最後に次を示す.

有限体上の代数的な斜体は可換である.

$k$を標数$p$の有限体,$D$をその上の代数的な斜体,$C$を$D$の中心とし,$C\ne D$と仮定する.$x\in D\setminus C$をとる.$x$は代数的であるので$k(x)$は$k$上の有限次拡大,特に巡回拡大.よって$C(x)/C = Ck(x)/C$も巡回拡大である.$\sigma$を$\mathop{\mathrm{Gal}}(C(x)/C)$の生成元とすると,$\sigma\colon C(x)\to C(x)$は以下の定理により$D$上の内部自己同型にのびる,つまりある$y\in D$により$\sigma(x) = yxy^{-1}$となる.適当な$p$の冪$q$により$\sigma(x) = x^{q}$であるので,$yxy^{-1} = x^{q}$.これと$x,y$が代数的であることから,$k(x,y)$は$k$上有限次元であり,従って有限斜体.これは有限斜体が可換であることを主張するWedderburnの小定理に反する.

使った定理(よく知られている?)は以下の通り.(Skolem-Noetherっぽいだけと有限性の仮定が一見弱い.証明は同じ.)$k = C$として使う.

$D$を$k$上の斜体とし,$D$の中心は$k$であるとする.$A\subset D$を$k$上の有限次元部分斜体とすると,$A$の任意の自己同型は$D$の内部自己同形に伸びる.

$A,D,k$を定理の通りとし,ベクトル空間$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$($D^\mathrm{op}$は$D$の反転環)に積を$(a_1\otimes d_1)(a_2\otimes d_2) = a_1a_2\otimes d_1d_2$と入れる.次の補題は後で示す.

既約$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$加群はすべて同型.

自己同型$\varphi\colon A\to A$に対して,$A\otimes_kD^{\mathrm{op}}$加群$V_1,V_2$を次で定める.加法群としては$V_1 = V_2 = D$であり,$a\otimes d\in A\otimes D^{\mathrm{op}}$に対して,$v\in V_1$ならば$(a\otimes d,v)\mapsto avd$,$v\in V_2$ならば$(a\otimes d,v)\mapsto \varphi(a)vd$として$A\otimes_kD^{\mathrm{op}}$加群の構造を定める.$1\otimes_k D^{\mathrm{op}}\subset A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$に制限して考えれば$V_1,V_2$は既約であるので,$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$加群としても既約.よって補題から$V_1\simeq V_2$である.同型$f\colon V_1\to V_2$をとり,$b = f(1) \in V_2 = D$とおくと,$v\in V_1$に対して$f(v) = f(1\times v) = f(1)v = bv$である.また$A$線形であることから,$a\in A$に対して$\varphi(a)b = \varphi(a)f(1) = f(a) = ba$.よって$\varphi(a) = bab^{-1}$となり定理が示された.

最後に補題3を示す.先に次を示しておく.

$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$は単純環,つまり非自明な両側イデアルを持たない.

$I\subset A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$を$0$でない両側イデアルとし,$0$でない$x = a_1\otimes d_1 + \cdots + a_n\otimes d_n\in I$をとる.ただし$a_1,\ldots,a_n$は$k$上一次独立で,$n$はこのような中で最小(特にすべての$i$で$d_i\ne 0$)なものとしておく.$1\otimes d_1^{-1}$をかけることで,$d_1 = 1$としてよい.$d\in D^{\mathrm{op}}$に対して \[(1\otimes d)x - x(1\otimes d) = a_2\otimes (dd_2 - d_2d) + \cdots + a_n\otimes (dd_n - d_nd)\] であり,これは$I$の元.よって$n$の最小性から$dd_i = d_id$がすべての$i = 2,\ldots,n$と$d\in D^{\mathrm{op}}$に対して成り立つ.従って各$d_i$は$D^{\mathrm{op}}$の中心,すなわち$k$の元である.$a = d_1a_1 + \cdots + a_nd_n$とおけば$x = a\otimes 1$.よって$1\otimes 1 = (a^{-1}\otimes 1)x\in I$.従って$I = A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$である.

補題3を示す*1.$B = A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$とおき,$I\subset B$を既約な左$B$加群とする*2.$IB\subset B$は両側イデアルであるから,補題4から$IB = B$.よって$B = \sum_{b\in B}Ib$となる.$b\in B$に対して,$x\mapsto xb$は全射準同形$I\to Ib$を与える.$I$は既約であるので核は$I$全体か$0$であり,それに従って$Ib = 0$または$Ib\simeq I$である.つまり$B$は$I$と同型な既約部分加群の和としてかける.よって$B$は左$B$加群として半単純で,また(半単純加群のよく知られた性質により)左$B$加群として$B \simeq I^n$となる.($n\in \mathbb{Z}_{>0}$.$n$が有限であることは$D^{\mathrm{op}}$上の次元から従う.)任意の既約$B$加群は$B$の商であるので,これは$I$に同型となる.

*1
$D^{\mathrm{op}}$上有限次元なことから$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$はArtinな単純環なのでそれから従うが,一応証明をしておく.
*2
$D^{\mathrm{op}}$上の次元が最小なものをとればよい.