メモ \[ \begin{gathered} \begin{pmatrix} 1 & 0\\x & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/x\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1\\ 0 & 1/x \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & 0\\x & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/x & 1\\ 0 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & x\\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1/x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/x & 0\\ 1 & x \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & x\\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 0\\ 1 & 1/x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1/x & 1 \end{pmatrix}. \end{gathered} \]

Weyl群の部分を行列式$-1$にしたやつも書いておく． \[ \begin{gathered} \begin{pmatrix} 1 & 0\\x & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/x\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1\\ 0 & -1/x \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & 0\\x & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/x & 1\\ 0 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/x\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & x\\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1/x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/x & 0\\ 1 & x \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 1 & x\\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 0\\ 1 & -1/x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1/x & 1 \end{pmatrix}. \end{gathered} \]