涼しくなってきたので少し数学を考えた．Andersen-Jantzen-Soergelの圏と圏同値になる圏$\mathcal{K}_P$を以前考えた．もちろんその圏はperiodic Hecke moduleを圏化する．ところでperiodic Hecke moduleにはあるinvolutionがあり，periodic Kazhdan-Lusztig polynomialはこのinvolutionに関する不変性で特徴付けられる．このinvolutionの圏化はなんだろう？　$\mathcal{K}_P$は適当な多項式環$R$上の両側加群っぽい感じなので，Soergel両側加群をまねて$M\mapsto \mathrm{Hom}_{R}(M,R)$（$\mathrm{Hom}$は右加群としてとる）とこれは$\mathcal{K}_P$上の関手にならない．最長Weyl元でのひねりを単純に加えると関手になるが，こんどはほしいinvolutionの圏化にならない．

SoergelのKazhdan-Lusztig polynomials and a combinatoric for tilting modulesによると，このinvolutionは（$v$の冪をかけるのを除いて）$c$って書いてあるやつと$\langle w_0\rangle$と書いてあるやつの合成で得られている．上で考えたdual + $w_0$のひねりはこの$c$に対応している気がするなぁ．となると$\langle w_0\rangle$を圏化する必要がありそうだが，よくわからない．

放ってあったDuality in the Category of Andersen-Jantzen-Soergelってのもあった．いかにも関係しそうだが．