学会でいけがみくんに教えてもらいながら導来関手が定義できた気がするのでメモ．一緒にいた方々に感謝．

問題

環$A$に対して，$\mathrm{Mod}(A)$で$A$加群のなす圏を表す．本当に全部を考えているので，対象全体は集合ではないが，クラスではある．環$A,B$と，左完全関手$F\colon \mathrm{Mod}(A)\to \mathrm{Mod}(B)$が与えられたときに，導来関手$R^iF\colon \mathrm{Mod}(A)\to \mathrm{Mod}(B)$を定めたい．よくある定義は次の通り．

$M\in \mathrm{Mod}(A)$に対して，入射分解$0\to M\to I^{\bullet} = (I^0\to \cdots\to I^i\to I^{i + 1}\to \cdots)$をとる．これに対して$R^iF(M) = H^i(F(I^{\bullet}))$と定める．

もちろん入射分解の取り方は一意ではない．しかし，次が成り立つ．

$I^{\bullet}$と$J^{\bullet}$を$M$の二つの入射分解とすると，ホモトピー同値を除いて一意的にホモトピー同型$I^{\bullet}\to J^{\bullet}$が存在する．特に自然に$H^i(F(I^{\bullet}))\simeq H^i(F(J^{\bullet}))$．

というわけで同型類は自然に定まる．

しかし，関手を定義する際には$\mathrm{Mod}(B)$の対象を定めなければならなく，その同型類を定めればよいという物ではない．実際には，例えば宇宙を固定したりしてその中で全て考えれば特に問題はない．しかし，それはZFCよりも真に強い公理系を加えたことになる．という感じで何かモヤモヤするのである……．

というわけで，ZFC内で$R^iF$という関手を定めることを試みる．

準備：集合の階数

クラスがあった時に，その部分として集合を取り出す方法として，その集合の階数を使う方法がある．Wikipediaにも項目があったが，繰り返し．順序数については既知とする．

順序数$\alpha$に対して，集合$V_{\alpha}$を次で定義する．

• $V_{\emptyset} = \emptyset$．
• $V_{\alpha + 1} = \mathcal{P}({V_{\alpha}})$（冪集合）．
• $\alpha$が極限順序数ならば$V_{\alpha} = \bigcup_{\beta < \alpha}V_{\beta}$．

気分的には，$V_{\alpha + 1}$の元は「中括弧が$\alpha$個ネストされている集合」である．

任意の集合$X$に対してある順序数$\alpha$が存在し，$X\in V_{\alpha + 1}$．

正則性公理から従うらしい．

集合$X$に対して，$X\in V_{\alpha + 1}$を満たす最小の順序数$\alpha$を$X$の階数と呼ぶ．

一般に空でないクラス$\mathcal{C}$に対して，$\{X\in \mathcal{C}\mid \text{$X$は$\mathcal{C}$内で最小の階数を持つ}\}$は，ある$\alpha$に関して$V_{\alpha}$の部分集合であるので集合である．

定義

$M\in \mathrm{Mod}(A)$を固定する．$\mathcal{I}$を$M$の入射分解からなるクラスとする．これは集合にはならない．これに対して，$\mathcal{I}' = \{I^{\bullet}\in \mathcal{I}\mid \text{$I^{\bullet}$は$\mathcal{I}$内で最小の階数を持つ}\}$とおく．上の注意からこれは集合である．$I^{\bullet},J^{\bullet}\in \mathcal{I}'$に対して，ホモトピー同型$J^{\bullet}\to I^{\bullet}$から誘導される同型$H^i(F(J^{\bullet}))\to H^i(F(I^{\bullet}))$を$f_{I^{\bullet}J^{\bullet}}$と書く．定理2から，これはホモトピー同型の取り方によらない．これを使い \[ R^iF(M) = \lim\limits_{\to} H^i(F(I^{\bullet})) = \{(x_{I^{\bullet}})\in \prod_{I^{\bullet}\in \mathcal{I}'}H^i(F(I^{\bullet}))\mid f_{I^{\bullet}J^{\bullet}}(x_{J^{\bullet}}) = x_{I^{\bullet}}\} \] とおく．