Soerge両側加群の話.以下gradingを無視する.Bs=R⊗RsRで,⟨δs,αs∨⟩=1となるδsが存在すれば,(Rs,R)加群としてBs=R⊗1⊕R⊗δs≃R2なので,Bs⊗RBs=R⊗RsBs≃Bs2となる.ところで,Bs≃{(f,g)∈R2∣f≡g(modαs)}である.同型は
a⊗b↦(ab,as(b))
および
(f,g)↦αs1(−fs(δs)+gδs)⊗1+αs1(f−g)⊗δs
で与えられる.同型Bs⊗RBs≃Bs2をこの表示で書いてみた.Bs⊗RBs→Bs2は
(f1,g1)⊗(f2,g2)↦((αs1(f1f2−g1s(g2)),αs1(f1g2−g1s(f2))),(αs1(−f1f2s(δs)+g1s(g2)δs),αs1(−f1g2s(δs)+g1s(f2)δs)))
で,逆は
((a,b),(c,d))↦(a,b)⊗(δs,δs)+αs1(b−a)(1,1)⊗(0,αsδs)+(c,d)⊗(1,1)+αs1(d−c)(1,1)⊗(0,αs)
で与えられる.いやだからと言われたら別に何でもないんですが…….
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