2019年10月6日

Soerge両側加群の話.以下gradingを無視する.Bs=RRsRB_s = R\otimes_{R^s}Rで,δs,αs=1\langle \delta_s,\alpha_s^\vee\rangle = 1となるδs\delta_sが存在すれば,(Rs,R)(R^s,R)加群としてBs=R1RδsR2B_s = R\otimes 1\oplus R\otimes \delta_s\simeq R^2なので,BsRBs=RRsBsBs2B_s\otimes_{R} B_s = R\otimes_{R^s}B_s\simeq B_s^2となる.ところで,Bs{(f,g)R2fg(modαs)}B_s\simeq \{(f,g)\in R^2\mid f\equiv g\pmod{\alpha_s}\}である.同型は ab(ab,as(b)) a\otimes b\mapsto (ab,as(b)) および (f,g)1αs(fs(δs)+gδs)1+1αs(fg)δs (f,g)\mapsto \frac{1}{\alpha_s}(-fs(\delta_s) + g\delta_s) \otimes 1 + \frac{1}{\alpha_s}(f - g)\otimes \delta_s で与えられる.同型BsRBsBs2B_s\otimes_{R}B_s\simeq B_s^2をこの表示で書いてみた.BsRBsBs2B_s\otimes_{R}B_s\to B_s^2(f1,g1)(f2,g2)((1αs(f1f2g1s(g2)),1αs(f1g2g1s(f2))),(1αs(f1f2s(δs)+g1s(g2)δs),1αs(f1g2s(δs)+g1s(f2)δs))) (f_1,g_1)\otimes(f_2,g_2)\mapsto \left( \left(\frac{1}{\alpha_s}(f_1f_2 - g_1s(g_2)),\frac{1}{\alpha_s}(f_1g_2 - g_1s(f_2))\right), \left(\frac{1}{\alpha_s}(-f_1f_2s(\delta_s) + g_1s(g_2)\delta_s),\frac{1}{\alpha_s}(-f_1g_2s(\delta_s) + g_1s(f_2)\delta_s)\right) \right) で,逆は ((a,b),(c,d))(a,b)(δs,δs)+1αs(ba)(1,1)(0,αsδs)+(c,d)(1,1)+1αs(dc)(1,1)(0,αs) ((a,b),(c,d))\mapsto (a,b)\otimes(\delta_s,\delta_s) + \frac{1}{\alpha_s}(b - a)(1,1)\otimes(0,\alpha_s\delta_s) + (c,d)\otimes(1,1) + \frac{1}{\alpha_s}(d - c)(1,1)\otimes(0,\alpha_s) で与えられる.いやだからと言われたら別に何でもないんですが…….

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