Soerge両側加群の話．以下gradingを無視する．$B_s = R\otimes_{R^s}R$で，$\langle \delta_s,\alpha_s^\vee\rangle = 1$となる$\delta_s$が存在すれば，$(R^s,R)$加群として$B_s = R\otimes 1\oplus R\otimes \delta_s\simeq R^2$なので，$B_s\otimes_{R} B_s = R\otimes_{R^s}B_s\simeq B_s^2$となる．ところで，$B_s\simeq \{(f,g)\in R^2\mid f\equiv g\pmod{\alpha_s}\}$である．同型は \[ a\otimes b\mapsto (ab,as(b)) \] および \[ (f,g)\mapsto \frac{1}{\alpha_s}(-fs(\delta_s) + g\delta_s) \otimes 1 + \frac{1}{\alpha_s}(f - g)\otimes \delta_s \] で与えられる．同型$B_s\otimes_{R}B_s\simeq B_s^2$をこの表示で書いてみた．$B_s\otimes_{R}B_s\to B_s^2$は \[ (f_1,g_1)\otimes(f_2,g_2)\mapsto \left( \left(\frac{1}{\alpha_s}(f_1f_2 - g_1s(g_2)),\frac{1}{\alpha_s}(f_1g_2 - g_1s(f_2))\right), \left(\frac{1}{\alpha_s}(-f_1f_2s(\delta_s) + g_1s(g_2)\delta_s),\frac{1}{\alpha_s}(-f_1g_2s(\delta_s) + g_1s(f_2)\delta_s)\right) \right) \] で，逆は \[ ((a,b),(c,d))\mapsto (a,b)\otimes(\delta_s,\delta_s) + \frac{1}{\alpha_s}(b - a)(1,1)\otimes(0,\alpha_s\delta_s) + (c,d)\otimes(1,1) + \frac{1}{\alpha_s}(d - c)(1,1)\otimes(0,\alpha_s) \] で与えられる．いやだからと言われたら別に何でもないんですが……．