多分知られている式ということになるんだろうけど,今のところ証明わかっていませんって式.もっと一般でも成り立つはずなんだと思うけど,とりあえず簡単な場合.Φを階数2のルート系として,Π={α,β}を単純ルート,Φ+を正ルートとする.WをWeyl群,s=sα,t=sβとする.stの位数をmとして,αiをiが奇数ならα,偶数ならβとして,si=sαiとおく.s1s2⋯smはWの最長元である.このとき,
e=(ei)∈{0,1}m,s1e1⋯smem=1∑α11s1e1(α21s2e2(⋯sm−1em−1(αm1)))=∏γ∈Φ+γ1.
が成り立つ.
なんか不思議.とりあえずA2とB2で計算してみた.A2の時はe=(0,0,0)か(1,0,1)で,
α1β1α1+α1s(β1α1)=α2β1−α2(α+β)1=α2β(α+β)α+β−β=αβ(α+β)1
とうまく打ち消しあって約分が起こる.B2の時はe=(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1)の三つで,βをlong rootとすると
α1β1α1β1+α1s(β1α1s(β1))+α1β1t(α1β1)=α2β21+α1β+2α1(−α1)β1+αβ1α+β1(−β1)=α2β21−α2β(β+2α)1−αβ2(α+β)1=α2β2(β+2α)(β+α)1((β+2α)(β+α)−β(β+α)−α(β+2α))=α2β2(β+2α)(β+α)1(β2+3αβ+2α2−(β2+αβ)−(βα+2α2)=α2β2(β+2α)(β+α)1αβ=αβ(β+2α)(β+α)1
とやっぱりうまいこと消える.おもしろい.
旗多様体のDemazure resolutionで上側の(homological) localization formulaの効果をpushして下側の原点で見たものになってませんか?その場合$K$-theoreticに$\al$を$1 - e^{\al}$に取り替えても成立するはずです。
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