2020年11月18日

多分知られている式ということになるんだろうけど,今のところ証明わかっていませんって式.もっと一般でも成り立つはずなんだと思うけど,とりあえず簡単な場合.$\Phi$を階数$2$のルート系として,$\Pi = \{\alpha,\beta\}$を単純ルート,$\Phi^+$を正ルートとする.$W$をWeyl群,$s = s_{\alpha}$,$t = s_{\beta}$とする.$st$の位数を$m$として,$\alpha_i$を$i$が奇数なら$\alpha$,偶数なら$\beta$として,$s_i = s_{\alpha_i}$とおく.$s_1s_2\cdots s_m$は$W$の最長元である.このとき, \[ \sum_{e = (e_i) \in \{0,1\}^m,s_1^{e_1}\cdots s_m^{e_m} = 1} \frac{1}{\alpha_1}s_1^{e_1}\left(\frac{1}{\alpha_2}s_2^{e_2}\left(\cdots s_{m - 1}^{e_{m - 1}}\left(\frac{1}{\alpha_m}\right)\right)\right) = \frac{1}{\prod_{\gamma\in \Phi^+}\gamma}. \] が成り立つ.

なんか不思議.とりあえず$A_2$と$B_2$で計算してみた.$A_2$の時は$e = (0,0,0)$か$(1,0,1)$で, \[ \begin{aligned} \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\right) & = \frac{1}{\alpha^2\beta} - \frac{1}{\alpha^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{\alpha + \beta - \beta}{\alpha^2\beta(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\alpha + \beta)} \end{aligned} \] とうまく打ち消しあって約分が起こる.$B_2$の時は$e = (0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1)$の三つで,$\beta$をlong rootとすると \[ \begin{aligned} & \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\right) \right) + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}t\left(\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta + 2\alpha}\left(-\frac{1}{\alpha}\right)\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha\beta}\frac{1}{\alpha + \beta}\left(-\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} - \frac{1}{\alpha^2\beta(\beta + 2\alpha)} - \frac{1}{\alpha\beta^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}((\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha) - \beta(\beta + \alpha) - \alpha(\beta + 2\alpha))\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}(\beta^2 + 3\alpha \beta + 2\alpha^2 - (\beta^2 + \alpha \beta) - (\beta \alpha + 2\alpha^2)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}\alpha \beta\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)} \end{aligned} \] とやっぱりうまいこと消える.おもしろい.

1 件のコメント:

  1. 旗多様体のDemazure resolutionで上側の(homological) localization formulaの効果をpushして下側の原点で見たものになってませんか?その場合$K$-theoreticに$\al$を$1 - e^{\al}$に取り替えても成立するはずです。

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