多分知られている式ということになるんだろうけど，今のところ証明わかっていませんって式．もっと一般でも成り立つはずなんだと思うけど，とりあえず簡単な場合．$\Phi$を階数$2$のルート系として，$\Pi = \{\alpha,\beta\}$を単純ルート，$\Phi^+$を正ルートとする．$W$をWeyl群，$s = s_{\alpha}$，$t = s_{\beta}$とする．$st$の位数を$m$として，$\alpha_i$を$i$が奇数なら$\alpha$，偶数なら$\beta$として，$s_i = s_{\alpha_i}$とおく．$s_1s_2\cdots s_m$は$W$の最長元である．このとき， \[ \sum_{e = (e_i) \in \{0,1\}^m,s_1^{e_1}\cdots s_m^{e_m} = 1} \frac{1}{\alpha_1}s_1^{e_1}\left(\frac{1}{\alpha_2}s_2^{e_2}\left(\cdots s_{m - 1}^{e_{m - 1}}\left(\frac{1}{\alpha_m}\right)\right)\right) = \frac{1}{\prod_{\gamma\in \Phi^+}\gamma}. \] が成り立つ．

なんか不思議．とりあえず$A_2$と$B_2$で計算してみた．$A_2$の時は$e = (0,0,0)$か$(1,0,1)$で， \[ \begin{aligned} \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\right) & = \frac{1}{\alpha^2\beta} - \frac{1}{\alpha^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{\alpha + \beta - \beta}{\alpha^2\beta(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\alpha + \beta)} \end{aligned} \] とうまく打ち消しあって約分が起こる．$B_2$の時は$e = (0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1)$の三つで，$\beta$をlong rootとすると \[ \begin{aligned} & \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\right) \right) + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}t\left(\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta + 2\alpha}\left(-\frac{1}{\alpha}\right)\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha\beta}\frac{1}{\alpha + \beta}\left(-\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} - \frac{1}{\alpha^2\beta(\beta + 2\alpha)} - \frac{1}{\alpha\beta^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}((\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha) - \beta(\beta + \alpha) - \alpha(\beta + 2\alpha))\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}(\beta^2 + 3\alpha \beta + 2\alpha^2 - (\beta^2 + \alpha \beta) - (\beta \alpha + 2\alpha^2)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}\alpha \beta\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)} \end{aligned} \] とやっぱりうまいこと消える．おもしろい．