2020年11月18日

多分知られている式ということになるんだろうけど,今のところ証明わかっていませんって式.もっと一般でも成り立つはずなんだと思うけど,とりあえず簡単な場合.Φ\Phiを階数22のルート系として,Π={α,β}\Pi = \{\alpha,\beta\}を単純ルート,Φ+\Phi^+を正ルートとする.WWをWeyl群,s=sαs = s_{\alpha}t=sβt = s_{\beta}とする.ststの位数をmmとして,αi\alpha_iiiが奇数ならα\alpha,偶数ならβ\betaとして,si=sαis_i = s_{\alpha_i}とおく.s1s2sms_1s_2\cdots s_mWWの最長元である.このとき, e=(ei){0,1}m,s1e1smem=11α1s1e1(1α2s2e2(sm1em1(1αm)))=1γΦ+γ. \sum_{e = (e_i) \in \{0,1\}^m,s_1^{e_1}\cdots s_m^{e_m} = 1} \frac{1}{\alpha_1}s_1^{e_1}\left(\frac{1}{\alpha_2}s_2^{e_2}\left(\cdots s_{m - 1}^{e_{m - 1}}\left(\frac{1}{\alpha_m}\right)\right)\right) = \frac{1}{\prod_{\gamma\in \Phi^+}\gamma}. が成り立つ.

なんか不思議.とりあえずA2A_2B2B_2で計算してみた.A2A_2の時はe=(0,0,0)e = (0,0,0)(1,0,1)(1,0,1)で, 1α1β1α+1αs(1β1α)=1α2β1α2(α+β)=α+ββα2β(α+β)=1αβ(α+β) \begin{aligned} \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\right) & = \frac{1}{\alpha^2\beta} - \frac{1}{\alpha^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{\alpha + \beta - \beta}{\alpha^2\beta(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\alpha + \beta)} \end{aligned} とうまく打ち消しあって約分が起こる.B2B_2の時はe=(0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1)e = (0,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1)の三つで,β\betaをlong rootとすると 1α1β1α1β+1αs(1β1αs(1β))+1α1βt(1α1β)=1α2β2+1α1β+2α(1α)1β+1αβ1α+β(1β)=1α2β21α2β(β+2α)1αβ2(α+β)=1α2β2(β+2α)(β+α)((β+2α)(β+α)β(β+α)α(β+2α))=1α2β2(β+2α)(β+α)(β2+3αβ+2α2(β2+αβ)(βα+2α2)=1α2β2(β+2α)(β+α)αβ=1αβ(β+2α)(β+α) \begin{aligned} & \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\frac{1}{\alpha}s\left(\frac{1}{\beta}\right) \right) + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}t\left(\frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} + \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta + 2\alpha}\left(-\frac{1}{\alpha}\right)\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha\beta}\frac{1}{\alpha + \beta}\left(-\frac{1}{\beta}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2} - \frac{1}{\alpha^2\beta(\beta + 2\alpha)} - \frac{1}{\alpha\beta^2(\alpha + \beta)}\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}((\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha) - \beta(\beta + \alpha) - \alpha(\beta + 2\alpha))\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}(\beta^2 + 3\alpha \beta + 2\alpha^2 - (\beta^2 + \alpha \beta) - (\beta \alpha + 2\alpha^2)\\ & = \frac{1}{\alpha^2\beta^2(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)}\alpha \beta\\ & = \frac{1}{\alpha\beta(\beta + 2\alpha)(\beta + \alpha)} \end{aligned} とやっぱりうまいこと消える.おもしろい.

1 件のコメント:

  1. 旗多様体のDemazure resolutionで上側の(homological) localization formulaの効果をpushして下側の原点で見たものになってませんか?その場合$K$-theoreticに$\al$を$1 - e^{\al}$に取り替えても成立するはずです。

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