ずっと昔にさいとーくんがある定理を紹介していた.間違っていなければ次の通り.
f1,...,frをRnからRnへの写像であって,あるri<1に対して∣fi(x)−fi(y)∣=ri∣x−y∣を満たすものとする.このとき任意の空でないコンパクト集合Kに対して,KsをK1=K,Ks+1=⋃ifi(Ks)により帰納的に定めると,{Ks}はKによらないある集合に収束する.(自己相似図形になり,そのハウスドルフ次元はそれっぽい値になる.)
収束は次の距離で定義する.空でないコンパクト集合Kに対して,K[r]をKをrだけ膨らませたもの,つまりK[r]={x∈Rn∣∃y∈K ∣x−y∣<r}と定め,d(K1,K2)=inf{r∣K1⊂K2[r],K2⊂K1[r]}と定義すると,これは距離を定める.この距離に関して完備距離空間となり,K↦⋃ifi(K)が縮小写像になって固定点が存在するとかいう証明だったと思う.
というわけで,K↦⋃ifi(K)を図示するWindowsプログラムを昔書いてみたのだが,それがふとHDDから出てきた.久しぶりに遊んでみようと思ったのだが,ソースも結構ひどいので,HTMLで書き直してみた.とりあえず「変換」を押してみるとコッホ曲線に収束するようにしてある.上のところはお絵かき仕様になっていて,適当な絵を書いてみて変換を押し続けてもやっぱりコッホ曲線になる.下の関数をいろいろといじってみるとほかのフラクタル図形もできるはず.(結構作るのが面倒だけど……)
ソースはわりと適当です.お絵かき部分はここのをコピペしただけだし,数式のパースも昨日何となく書いただけなので割と適当.sin/cos/tan/log/exp/sqrtが使えるはずです.
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