セミナー．$GL_n$(F)と$GL_m(D)$の場合にJacquet-Langlands対応とmodulo $\ell$との整合性．$\bar{\mathbb{Q}}_\ell$上の表現が群の作用で不変な$\bar{\mathbb{Z}}_\ell$格子を持つときentierといい，さらにそのときその格子をmod lしたものの半単純化を$r_\ell(\pi)$と書く．主定理は次の通り．$\pi_\ell$をJacquet-Langlands対応としたとき(1) $\delta$がentireと$\pi_\ell(\delta)$がentierは同値．(2) $\delta_1,\delta_2$がentierならば$r_\ell(\delta_1) = r_\ell(\delta_2)$と$r_\ell(\pi_\ell(\delta_1)) = r_\ell(\pi_\ell(\delta_2))$は同値．

指標みたいなのを使うと「mod $\ell$なJacquet-Langlands対応」（それそのものか知らないけど）の存在が示せ，これから同値の片方が出る．逆は数勘定をしていたように思える．表現$\tau$を固定し，mod $\ell$でそれと一致するものの数（up to 不分岐指標の捻り）を$t(\tau)$と書くと，$t(\tau) = t(\pi_\ell(\tau))$となることを示す．上から$t(\tau)\le t(\pi_\ell(\tau))$で．一方$t(\tau)$をある程度具体的に書く式があって，それを使って逆の不等式を得ているように見えた．

来週はお休み．