さてセミナー．月曜日にアナウンスされていたとおり，今日は部屋が違うところ．Jussieu内かと思っていたら，Sophie Germainの隣の建物だった．今月はもう向こうには行かなくてよいと思っていたのになぁ．Sophie Germainの方ではCiubotaruさんがしゃべっていたらしいけど，時間が丸かぶりなので行けず．というか気がついたらUtahから移動していたのか．

セミナーは続き（当たり前）で，今日は主定理が紹介された．いや既に主定理はあっただけど，新しいコホモロジー理論の定義と，主定理を導く定理たち．相変わらずわからずノートのコピーをしてみる．$\mathbb{C},\mathcal{O}$はいつも通り，$\mathcal{X}$を$\mathcal{O}$上のformal scheme，$X$をgeneric fiber（$\mathbb{C}$上のrigid analytic space）とすると，pro-étale site? $X_{\mathrm{proet}}$と，射影$X_{\mathrm{proet}}\to X_{\mathrm{et}}$が定義される．また，$X_{\mathrm{et}}$上にある$\mathcal{O}_{X_{\mathrm{et}}}^+$を引き戻すと$X_{\mathrm{proet}}$上の$\mathcal{O}_X^+$ができるけど，これから完備化とかWitt環をとるとかして，層$\mathbb{A}_{\mathrm{inf},X}$ができる．それを使って \[ \mathbb{A}\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}} = L\eta_\mu(Rv_*\mathbb{A}_{\mathrm{inf},X}) \] と定める．ただし，compatibleな$1$の$p^n$冪乗根$\{\zeta_{p^n}\}\in \mathcal{O}$があるとして，$\varepsilon = (1,\zeta_p,\zeta_{p^2},\ldots)\in \mathcal{O}^b$，$\mu = [\varepsilon] - 1\in \mathbb{A}_{\mathrm{inf}} := W(\mathcal{O}^b)$．（$\mathcal{A}_{\mathrm{inf},X}$は$\mathbb{A}_{\mathrm{inf}}$加群の層．）これは構成からétale cohomologyと関連していて，また次の定理からcrystalline cohomologyやde Rahm cohomologyと結びつくのだそうだ．定理は$(W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}})^\sim = \mathbb{A}_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}\otimes^{\mathbb{L}}_{\mathbb{A}_{\mathrm{inf}},\tilde{\theta}_r}W_r(\mathcal{O})$，また$W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}$をde Rahm-Witt complex?とすると，自然なquasi-isom $W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}\simeq \mathbb{A}\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}/\xi_r$が成り立つ．この定理自身は，次の定理から従う．自然な同型$W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}^i\simeq \mathcal{H}^i((W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}})^\sim)$がある．（他にもcompatibilityの主張がある．）