2016年1月22日

さてセミナー.月曜日にアナウンスされていたとおり,今日は部屋が違うところ.Jussieu内かと思っていたら,Sophie Germainの隣の建物だった.今月はもう向こうには行かなくてよいと思っていたのになぁ.Sophie Germainの方ではCiubotaruさんがしゃべっていたらしいけど,時間が丸かぶりなので行けず.というか気がついたらUtahから移動していたのか.

セミナーは続き(当たり前)で,今日は主定理が紹介された.いや既に主定理はあっただけど,新しいコホモロジー理論の定義と,主定理を導く定理たち.相変わらずわからずノートのコピーをしてみる.C,O\mathbb{C},\mathcal{O}はいつも通り,X\mathcal{X}O\mathcal{O}上のformal scheme,XXをgeneric fiber(C\mathbb{C}上のrigid analytic space)とすると,pro-étale site? XproetX_{\mathrm{proet}}と,射影XproetXetX_{\mathrm{proet}}\to X_{\mathrm{et}}が定義される.また,XetX_{\mathrm{et}}上にあるOXet+\mathcal{O}_{X_{\mathrm{et}}}^+を引き戻すとXproetX_{\mathrm{proet}}上のOX+\mathcal{O}_X^+ができるけど,これから完備化とかWitt環をとるとかして,層Ainf,X\mathbb{A}_{\mathrm{inf},X}ができる.それを使って AΩX/O=Lημ(RvAinf,X) \mathbb{A}\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}} = L\eta_\mu(Rv_*\mathbb{A}_{\mathrm{inf},X}) と定める.ただし,compatibleな11pnp^n冪乗根{ζpn}O\{\zeta_{p^n}\}\in \mathcal{O}があるとして,ε=(1,ζp,ζp2,)Ob\varepsilon = (1,\zeta_p,\zeta_{p^2},\ldots)\in \mathcal{O}^bμ=[ε]1Ainf:=W(Ob)\mu = [\varepsilon] - 1\in \mathbb{A}_{\mathrm{inf}} := W(\mathcal{O}^b).(Ainf,X\mathcal{A}_{\mathrm{inf},X}Ainf\mathbb{A}_{\mathrm{inf}}加群の層.)これは構成からétale cohomologyと関連していて,また次の定理からcrystalline cohomologyやde Rahm cohomologyと結びつくのだそうだ.定理は(WrΩX/O)=AX/OAinf,θ~rLWr(O)(W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}})^\sim = \mathbb{A}_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}\otimes^{\mathbb{L}}_{\mathbb{A}_{\mathrm{inf}},\tilde{\theta}_r}W_r(\mathcal{O}),またWrΩX/OW_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}をde Rahm-Witt complex?とすると,自然なquasi-isom WrΩX/OAΩX/O/ξrW_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}\simeq \mathbb{A}\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}/\xi_rが成り立つ.この定理自身は,次の定理から従う.自然な同型WrΩX/OiHi((WrΩX/O))W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}}^i\simeq \mathcal{H}^i((W_r\Omega_{\mathcal{X}/\mathcal{O}})^\sim)がある.(他にもcompatibilityの主張がある.)

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