$(\Sigma,X^*,\check{\Sigma},X_*)$を有限ルート系，$\Sigma^+\subset\Sigma$をその正系，$W_0$をそのWeyl群，$W = W_0\ltimes X_*$を付随する（拡大？）アフィンWeyl群*1とする．$\le$を$W$のBruhat順序とする．$\lambda\in X_*$に対して，対応する$W$の元を$t_\lambda\in W$と書く．このとき：$\lambda_1,\lambda_2$を$X_*$の支配的元とすると，$t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}$と$\lambda_2 - \lambda_1 \in \sum_{\alpha\in\Sigma^+}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}$は同値である．

この証明を半分しか知らない，しかも文献も知らない（主張だけされている文献は知っている）という状況だったのだが，さすがに使うのに文献も知らないのはまずいかなと思い，Heさんに聞いてみたら瞬殺された．Rapoportの「A guide to the reduction modulo $p$ of Shimura variety」という論文のLemma 3.8および3.5の証明やそこからの引用文献を見ればわかるとのこと．とりあえずこの論文のLemma 3.3と3.8から出る気がする．あまり難しくなさそうなので，少し変更したものをメモもかねてかいておく．

記号．$w\in W_0$，$\lambda\in X_*$とすると，$wt_{\lambda}$は$\Sigma_{\mathrm{aff}} = \Sigma\times\mathbb{Z}$に$wt_x(\alpha,k) = (w(\alpha),k - \langle \alpha,\lambda\rangle)$で作用する．$\Sigma^+_{\mathrm{aff}} = \Sigma^+\times\mathbb{Z}_{\ge 0}\cup \Sigma\times\mathbb{Z}_{>0}$，$\Sigma^-_{\mathrm{aff}} = -\Sigma^+_{\mathrm{aff}}$とすると$\ell(wt_x) = \#(wt_x(\Sigma^+_{\mathrm{aff}})\cap \Sigma^-_{\mathrm{aff}})$として長さ$\ell(wt_x)$が定義される．（これは$W$のCoxeter群の構造から来る長さと一致する．）この長さ$\ell(wt_x)$は \[ \ell(wt_x) = \sum_{\alpha\in\Sigma^+.w^{-1}(\alpha) < 0}\lvert \langle \alpha,\lambda\rangle + 1\rvert + \sum_{\alpha\in\Sigma^+,w^{-1}(\alpha) > 0}\lvert\langle \alpha,\lambda\rangle\rvert \] で与えられる．特に$w = 1$とすると$\ell(t_\lambda) = \sum_{\alpha\in\Sigma^+}\lvert\langle\alpha,\lambda\rangle\rvert$であるので，もし$\lambda_1,\lambda_2$がともに支配的ならば$\ell(t_{\lambda_1 + \lambda_2}) = \ell(t_{\lambda_1}) + \ell(t_{\lambda_2})$となる． また，$(\beta,l)\in\Sigma_{\mathrm{aff}}$に関する鏡映$s_{(\beta,l)}$は$s_{(\beta,l)}(\alpha,k) = (s_\beta(\alpha),k - l\langle \alpha,\check{\beta}\rangle)$により与えられる．

$\Delta$を単純ルート全体のなす集合とする． まず$\lambda_2 - \lambda_1\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}$とし，$n_\alpha\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$を$\lambda_2 - \lambda_1 = \sum_{\alpha\in\Delta}n_\alpha \check{\alpha}$ととる． $\lambda$を支配的な元とすると，$\ell(t_{\lambda_2 + \lambda}) = \ell(\lambda_2) + \ell(\lambda)$，$\ell(t_{\lambda_1 + \lambda}) = \ell(\lambda_1) + \ell(\lambda)$であるので，$t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}$と$t_{\lambda_1 + \lambda}\le t_{\lambda_2 + \lambda}$とは同値である． $\lambda\in X_*$を十分支配的にとり，$\lambda_1 + \lambda + \sum_{\alpha\in\Delta}m_\alpha \check{\alpha}$が全ての$m_\alpha\le n_\alpha$に対して支配的となるようにする． すると，支配的な$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_r\in X_*$で，$\lambda + \lambda_1 = \mu_1$，$\lambda + \lambda_2 = \mu_r$，$\mu_{i + 1} - \mu_i = \check{\alpha}_i$（$\alpha_i\in\Delta$）となるようなものが存在する． $\mu_i\le \mu_{i + 1}$となることを示せば良い． よって最初からある$\alpha\in\Delta$に対して$\lambda_2 - \lambda_1 = \check{\alpha}$であると仮定して良い． このとき$t_{\lambda_2}(\alpha,0) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_2\rangle) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_1\rangle - 2)\in\Sigma^-_{\mathrm{aff}}$であるので$t_{\lambda_2} > t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}$． 更に$t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}(-\alpha,1) = (\alpha,1 - \langle \alpha,\lambda_2\rangle) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_1\rangle - 1)\in\Sigma^-_{\mathrm{aff}}$であるので$t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)} > t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}s_{(-\alpha,1)} = t_{\lambda_2}t_{-\check{\alpha}} = t_{\lambda_1}$である．

逆を示す．これは次の補題から従う． $V = X_*\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$とおくと，$wt_{\lambda}\in W$は$V$に$wt_{\lambda}(v) = w(v + \lambda)$として作用する． $(\alpha,k)\in\Sigma_{\mathrm{aff}}$に対して$(\alpha,k)(v) = \langle \alpha,v\rangle + k$と定めると，$\tilde{\alpha}\in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}$ならば$\tilde{\alpha}(0) \ge 0$，また$\tilde{\alpha} = (\alpha,k) \in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}$に対して$s_{\tilde{\alpha}}(v) = v - \tilde{\alpha}(v)\check{\alpha}$である．

$\mathcal{P}\subset V$を$W_0$不変なconvex polygonとし，$x_1,x_2\in W$が$x_1\le x_2$を満たすとする． このとき，$x_2(0)\in \mathcal{P}$ならば$x_1(0)\in \mathcal{P}$である．

Bruhat順序の定義から，$t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}$ならば$\lambda_2 - \lambda_1\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\check{\alpha}$となる． $\mathcal{P}$を$W_0\lambda_2$の凸方とすると，任意の$\lambda\in\mathcal{P}$は$\lambda_2 - \lambda\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{R}_{\ge 0}\check{\alpha}$を満たす．（これは任意の$w\in W_0$に対して$\lambda_2 - w(\lambda_2)\in \sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}$であることから容易にわかる．） この$\mathcal{P}$に対して補題を適用するともとの定理が得られる．

補題を示す． 適当な$\tilde{\alpha} = (\alpha,k)\in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}$に対して$x_1 = s_{\tilde{\alpha}}x_2$としてよい． このとき$x_2^{-1}(\tilde{\alpha}) < 0$であるので，$\tilde{\alpha}(x_2(0)) \le 0$． 一方$\tilde{\alpha}(0) \ge 0$であるので，$x_1(0) = x_2(0) - \tilde{\alpha}(x_2(0))\check{\alpha}$は$x_2(0)$と$x_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha}$を結ぶ線分上にある． よって$x_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha}\in \mathcal{P}$を示せば良い． 定義から$\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0) = \langle \alpha,x_2(0)\rangle - \langle \alpha,0\rangle = \langle \alpha,x_2(0)\rangle$であるので，$x_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha} = x_2(0) - \langle \alpha,x_2(0)\rangle\check{\alpha} = s_\alpha(x_2(0))$． $\mathcal{P}$は$W_0$不変であるから，仮定$x_2(0)\in \mathcal{P}$より$s_\alpha(x_2(0))\in \mathcal{P}$である．

*1

この群の名前は何なんだろうか．アフィンWeyl群は$X_*$がコルート格子の時という噂があるし，拡大アフィンWeyl群は$X_*$がコウェイト格子の時だという噂もある．