(Σ,X∗,Σˇ,X∗)を有限ルート系,Σ+⊂Σをその正系,W0をそのWeyl群,W=W0⋉X∗を付随する(拡大?)アフィンWeyl群とする.≤をWのBruhat順序とする.λ∈X∗に対して,対応するWの元をtλ∈Wと書く.このとき:λ1,λ2をX∗の支配的元とすると,tλ1≤tλ2とλ2−λ1∈∑α∈Σ+Z≥0αˇは同値である.
この証明を半分しか知らない,しかも文献も知らない(主張だけされている文献は知っている)という状況だったのだが,さすがに使うのに文献も知らないのはまずいかなと思い,Heさんに聞いてみたら瞬殺された.Rapoportの「A guide to the reduction modulo p of Shimura variety」という論文のLemma 3.8および3.5の証明やそこからの引用文献を見ればわかるとのこと.とりあえずこの論文のLemma 3.3と3.8から出る気がする.あまり難しくなさそうなので,少し変更したものをメモもかねてかいておく.
記号.w∈W0,λ∈X∗とすると,wtλはΣaff=Σ×Zにwtx(α,k)=(w(α),k−⟨α,λ⟩)で作用する.Σaff+=Σ+×Z≥0∪Σ×Z>0,Σaff−=−Σaff+とするとℓ(wtx)=#(wtx(Σaff+)∩Σaff−)として長さℓ(wtx)が定義される.(これはWのCoxeter群の構造から来る長さと一致する.)この長さℓ(wtx)は
ℓ(wtx)=α∈Σ+.w−1(α)<0∑∣⟨α,λ⟩+1∣+α∈Σ+,w−1(α)>0∑∣⟨α,λ⟩∣
で与えられる.特にw=1とするとℓ(tλ)=∑α∈Σ+∣⟨α,λ⟩∣であるので,もしλ1,λ2がともに支配的ならばℓ(tλ1+λ2)=ℓ(tλ1)+ℓ(tλ2)となる.
また,(β,l)∈Σaffに関する鏡映s(β,l)はs(β,l)(α,k)=(sβ(α),k−l⟨α,βˇ⟩)により与えられる.
Δを単純ルート全体のなす集合とする.
まずλ2−λ1∈∑α∈ΔZ≥0αˇとし,nα∈Z≥0をλ2−λ1=∑α∈Δnααˇととる.
λを支配的な元とすると,ℓ(tλ2+λ)=ℓ(λ2)+ℓ(λ),ℓ(tλ1+λ)=ℓ(λ1)+ℓ(λ)であるので,tλ1≤tλ2とtλ1+λ≤tλ2+λとは同値である.
λ∈X∗を十分支配的にとり,λ1+λ+∑α∈Δmααˇが全てのmα≤nαに対して支配的となるようにする.
すると,支配的なμ1,μ2,…,μr∈X∗で,λ+λ1=μ1,λ+λ2=μr,μi+1−μi=αˇi(αi∈Δ)となるようなものが存在する.
μi≤μi+1となることを示せば良い.
よって最初からあるα∈Δに対してλ2−λ1=αˇであると仮定して良い.
このときtλ2(α,0)=(α,−⟨α,λ2⟩)=(α,−⟨α,λ1⟩−2)∈Σaff−であるのでtλ2>tλ2s(α,0).
更にtλ2s(α,0)(−α,1)=(α,1−⟨α,λ2⟩)=(α,−⟨α,λ1⟩−1)∈Σaff−であるのでtλ2s(α,0)>tλ2s(α,0)s(−α,1)=tλ2t−αˇ=tλ1である.
逆を示す.これは次の補題から従う.
V=X∗⊗ZRとおくと,wtλ∈WはVにwtλ(v)=w(v+λ)として作用する.
(α,k)∈Σaffに対して(α,k)(v)=⟨α,v⟩+kと定めると,α~∈Σaff+ならばα~(0)≥0,またα~=(α,k)∈Σaff+に対してsα~(v)=v−α~(v)αˇである.
P⊂VをW0不変なconvex polygonとし,x1,x2∈Wがx1≤x2を満たすとする.
このとき,x2(0)∈Pならばx1(0)∈Pである.
Bruhat順序の定義から,tλ1≤tλ2ならばλ2−λ1∈∑α∈ΔZαˇとなる.
PをW0λ2の凸方とすると,任意のλ∈Pはλ2−λ∈∑α∈ΔR≥0αˇを満たす.(これは任意のw∈W0に対してλ2−w(λ2)∈∑α∈ΔZ≥0αˇであることから容易にわかる.)
このPに対して補題を適用するともとの定理が得られる.
補題を示す.
適当なα~=(α,k)∈Σaff+に対してx1=sα~x2としてよい.
このときx2−1(α~)<0であるので,α~(x2(0))≤0.
一方α~(0)≥0であるので,x1(0)=x2(0)−α~(x2(0))αˇはx2(0)とx2(0)−(α~(x2(0))−α~(0))αˇを結ぶ線分上にある.
よってx2(0)−(α~(x2(0))−α~(0))αˇ∈Pを示せば良い.
定義からα~(x2(0))−α~(0)=⟨α,x2(0)⟩−⟨α,0⟩=⟨α,x2(0)⟩であるので,x2(0)−(α~(x2(0))−α~(0))αˇ=x2(0)−⟨α,x2(0)⟩αˇ=sα(x2(0)).
PはW0不変であるから,仮定x2(0)∈Pよりsα(x2(0))∈Pである.
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