2016年1月27日

(Σ,X,Σˇ,X)(\Sigma,X^*,\check{\Sigma},X_*)を有限ルート系,Σ+Σ\Sigma^+\subset\Sigmaをその正系,W0W_0をそのWeyl群,W=W0XW = W_0\ltimes X_*を付随する(拡大?)アフィンWeyl群*1とする.\leWWのBruhat順序とする.λX\lambda\in X_*に対して,対応するWWの元をtλWt_\lambda\in Wと書く.このとき:λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2XX_*の支配的元とすると,tλ1tλ2t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}λ2λ1αΣ+Z0αˇ\lambda_2 - \lambda_1 \in \sum_{\alpha\in\Sigma^+}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}は同値である.

この証明を半分しか知らない,しかも文献も知らない(主張だけされている文献は知っている)という状況だったのだが,さすがに使うのに文献も知らないのはまずいかなと思い,Heさんに聞いてみたら瞬殺された.Rapoportの「A guide to the reduction modulo pp of Shimura variety」という論文のLemma 3.8および3.5の証明やそこからの引用文献を見ればわかるとのこと.とりあえずこの論文のLemma 3.3と3.8から出る気がする.あまり難しくなさそうなので,少し変更したものをメモもかねてかいておく.

記号.wW0w\in W_0λX\lambda\in X_*とすると,wtλwt_{\lambda}Σaff=Σ×Z\Sigma_{\mathrm{aff}} = \Sigma\times\mathbb{Z}wtx(α,k)=(w(α),kα,λ)wt_x(\alpha,k) = (w(\alpha),k - \langle \alpha,\lambda\rangle)で作用する.Σaff+=Σ+×Z0Σ×Z>0\Sigma^+_{\mathrm{aff}} = \Sigma^+\times\mathbb{Z}_{\ge 0}\cup \Sigma\times\mathbb{Z}_{>0}Σaff=Σaff+\Sigma^-_{\mathrm{aff}} = -\Sigma^+_{\mathrm{aff}}とすると(wtx)=#(wtx(Σaff+)Σaff)\ell(wt_x) = \#(wt_x(\Sigma^+_{\mathrm{aff}})\cap \Sigma^-_{\mathrm{aff}})として長さ(wtx)\ell(wt_x)が定義される.(これはWWのCoxeter群の構造から来る長さと一致する.)この長さ(wtx)\ell(wt_x)(wtx)=αΣ+.w1(α)<0α,λ+1+αΣ+,w1(α)>0α,λ \ell(wt_x) = \sum_{\alpha\in\Sigma^+.w^{-1}(\alpha) < 0}\lvert \langle \alpha,\lambda\rangle + 1\rvert + \sum_{\alpha\in\Sigma^+,w^{-1}(\alpha) > 0}\lvert\langle \alpha,\lambda\rangle\rvert で与えられる.特にw=1w = 1とすると(tλ)=αΣ+α,λ\ell(t_\lambda) = \sum_{\alpha\in\Sigma^+}\lvert\langle\alpha,\lambda\rangle\rvertであるので,もしλ1,λ2\lambda_1,\lambda_2がともに支配的ならば(tλ1+λ2)=(tλ1)+(tλ2)\ell(t_{\lambda_1 + \lambda_2}) = \ell(t_{\lambda_1}) + \ell(t_{\lambda_2})となる. また,(β,l)Σaff(\beta,l)\in\Sigma_{\mathrm{aff}}に関する鏡映s(β,l)s_{(\beta,l)}s(β,l)(α,k)=(sβ(α),klα,βˇ)s_{(\beta,l)}(\alpha,k) = (s_\beta(\alpha),k - l\langle \alpha,\check{\beta}\rangle)により与えられる.

Δ\Deltaを単純ルート全体のなす集合とする. まずλ2λ1αΔZ0αˇ\lambda_2 - \lambda_1\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}とし,nαZ0n_\alpha\in\mathbb{Z}_{\ge 0}λ2λ1=αΔnααˇ\lambda_2 - \lambda_1 = \sum_{\alpha\in\Delta}n_\alpha \check{\alpha}ととる. λ\lambdaを支配的な元とすると,(tλ2+λ)=(λ2)+(λ)\ell(t_{\lambda_2 + \lambda}) = \ell(\lambda_2) + \ell(\lambda)(tλ1+λ)=(λ1)+(λ)\ell(t_{\lambda_1 + \lambda}) = \ell(\lambda_1) + \ell(\lambda)であるので,tλ1tλ2t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}tλ1+λtλ2+λt_{\lambda_1 + \lambda}\le t_{\lambda_2 + \lambda}とは同値である. λX\lambda\in X_*を十分支配的にとり,λ1+λ+αΔmααˇ\lambda_1 + \lambda + \sum_{\alpha\in\Delta}m_\alpha \check{\alpha}が全てのmαnαm_\alpha\le n_\alphaに対して支配的となるようにする. すると,支配的なμ1,μ2,,μrX\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_r\in X_*で,λ+λ1=μ1\lambda + \lambda_1 = \mu_1λ+λ2=μr\lambda + \lambda_2 = \mu_rμi+1μi=αˇi\mu_{i + 1} - \mu_i = \check{\alpha}_iαiΔ\alpha_i\in\Delta)となるようなものが存在する. μiμi+1\mu_i\le \mu_{i + 1}となることを示せば良い. よって最初からあるαΔ\alpha\in\Deltaに対してλ2λ1=αˇ\lambda_2 - \lambda_1 = \check{\alpha}であると仮定して良い. このときtλ2(α,0)=(α,α,λ2)=(α,α,λ12)Σafft_{\lambda_2}(\alpha,0) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_2\rangle) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_1\rangle - 2)\in\Sigma^-_{\mathrm{aff}}であるのでtλ2>tλ2s(α,0)t_{\lambda_2} > t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}. 更にtλ2s(α,0)(α,1)=(α,1α,λ2)=(α,α,λ11)Σafft_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}(-\alpha,1) = (\alpha,1 - \langle \alpha,\lambda_2\rangle) = (\alpha,-\langle \alpha,\lambda_1\rangle - 1)\in\Sigma^-_{\mathrm{aff}}であるのでtλ2s(α,0)>tλ2s(α,0)s(α,1)=tλ2tαˇ=tλ1t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)} > t_{\lambda_2}s_{(\alpha,0)}s_{(-\alpha,1)} = t_{\lambda_2}t_{-\check{\alpha}} = t_{\lambda_1}である.

逆を示す.これは次の補題から従う. V=XZRV = X_*\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}とおくと,wtλWwt_{\lambda}\in WVVwtλ(v)=w(v+λ)wt_{\lambda}(v) = w(v + \lambda)として作用する. (α,k)Σaff(\alpha,k)\in\Sigma_{\mathrm{aff}}に対して(α,k)(v)=α,v+k(\alpha,k)(v) = \langle \alpha,v\rangle + kと定めると,α~Σaff+\tilde{\alpha}\in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}ならばα~(0)0\tilde{\alpha}(0) \ge 0,またα~=(α,k)Σaff+\tilde{\alpha} = (\alpha,k) \in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}に対してsα~(v)=vα~(v)αˇs_{\tilde{\alpha}}(v) = v - \tilde{\alpha}(v)\check{\alpha}である.

PV\mathcal{P}\subset VW0W_0不変なconvex polygonとし,x1,x2Wx_1,x_2\in Wx1x2x_1\le x_2を満たすとする. このとき,x2(0)Px_2(0)\in \mathcal{P}ならばx1(0)Px_1(0)\in \mathcal{P}である.

Bruhat順序の定義から,tλ1tλ2t_{\lambda_1}\le t_{\lambda_2}ならばλ2λ1αΔZαˇ\lambda_2 - \lambda_1\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}\check{\alpha}となる. P\mathcal{P}W0λ2W_0\lambda_2の凸方とすると,任意のλP\lambda\in\mathcal{P}λ2λαΔR0αˇ\lambda_2 - \lambda\in\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{R}_{\ge 0}\check{\alpha}を満たす.(これは任意のwW0w\in W_0に対してλ2w(λ2)αΔZ0αˇ\lambda_2 - w(\lambda_2)\in \sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{Z}_{\ge 0}\check{\alpha}であることから容易にわかる.) このP\mathcal{P}に対して補題を適用するともとの定理が得られる.

補題を示す. 適当なα~=(α,k)Σaff+\tilde{\alpha} = (\alpha,k)\in\Sigma^+_{\mathrm{aff}}に対してx1=sα~x2x_1 = s_{\tilde{\alpha}}x_2としてよい. このときx21(α~)<0x_2^{-1}(\tilde{\alpha}) < 0であるので,α~(x2(0))0\tilde{\alpha}(x_2(0)) \le 0. 一方α~(0)0\tilde{\alpha}(0) \ge 0であるので,x1(0)=x2(0)α~(x2(0))αˇx_1(0) = x_2(0) - \tilde{\alpha}(x_2(0))\check{\alpha}x2(0)x_2(0)x2(0)(α~(x2(0))α~(0))αˇx_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha}を結ぶ線分上にある. よってx2(0)(α~(x2(0))α~(0))αˇPx_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha}\in \mathcal{P}を示せば良い. 定義からα~(x2(0))α~(0)=α,x2(0)α,0=α,x2(0)\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0) = \langle \alpha,x_2(0)\rangle - \langle \alpha,0\rangle = \langle \alpha,x_2(0)\rangleであるので,x2(0)(α~(x2(0))α~(0))αˇ=x2(0)α,x2(0)αˇ=sα(x2(0))x_2(0) - (\tilde{\alpha}(x_2(0)) - \tilde{\alpha}(0))\check{\alpha} = x_2(0) - \langle \alpha,x_2(0)\rangle\check{\alpha} = s_\alpha(x_2(0))P\mathcal{P}W0W_0不変であるから,仮定x2(0)Px_2(0)\in \mathcal{P}よりsα(x2(0))Ps_\alpha(x_2(0))\in \mathcal{P}である.

*1
この群の名前は何なんだろうか.アフィンWeyl群はXX_*がコルート格子の時という噂があるし,拡大アフィンWeyl群はXX_*がコウェイト格子の時だという噂もある.

0 件のコメント:

コメントを投稿

コメントの追加にはサードパーティーCookieの許可が必要です