更に続き．

Parity sheaves

Parity sheafとの対応がある．一般のKac-Moody群で定理がいえるようだが，affineの場合にはこうなる．$G^\vee$を双対群とし，$I^\vee\subset G^\vee(\mathbb{C}((t)))$を岩堀部分群として，旗多様体$\mathcal{Fl}^\vee = G^\vee(\mathbb{C}((t)))/I^\vee$を考える．アフィン単純鏡映の列$(s_1,\ldots,s_r)$に対してBott-Samuelson多様体が定まるが，その定数層の押し出しを考え（$I^\vee$同変層と見なす），そのシフトと直和，直和因子により生成される圏を$\mathrm{Parity}_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)$とする．この対象は全てParity sheafとなる．

単純偏屈層のように，$\mathcal{Fl}^\vee$上のindecomposable Parity sheafは$w\in W$でパラメトライズされる．$\mathcal{E}_w$を$w\in W$に対応するindecomposable Parity sheafとする．

圏同値$\mathcal{D}\simeq \mathrm{Parity}_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)$で，$B_w$を$\mathcal{E}_w$に送るものが存在する．

先ほどとの大きな違いは，両者の係数が割りと自由に取り替えられることである．実際にはこの定理は$\mathbb{Z}[1/2]$で成り立つ．（群によっては$\mathbb{Z}$上で成り立つ．）証明にはこれが効く．関手は割とそのままという感じで作る．問題は$\mathcal{D}$での超複雑な関係式のチェックなのだが，これは次のようなことをする．

調べるべき$\mathrm{Hom}$は全て係数上自由なので（基底が直接作れる）$\mathbb{Z}[1/2]$を$\mathbb{Q}$で置き換えて示せば良い．$\mathcal{F}\in \mathrm{Parity}_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)$に対して，$\mathbb{H}(\mathcal{F}) = H^*_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee,\mathcal{F})$をそのコホモロジーとする．これは$H^*_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)$加群となる．射$R\times R\to H^*_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)$を通じて，関手$\mathbb{H}\colon \mathrm{Parity}_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)\to R\mathrm{-bimod}$を得る．合成 \[ \mathcal{D}\to \mathrm{Parity}_{I^\vee}(\mathcal{Fl}^\vee)\to R\mathrm{-bimod} \] を考える．これはまさに$\mathcal{D}$とSoergel加群との比較であり（多分標数0で圏同値になる，という定理の射なんだと思うんですが），従って関係式のチェックはすでにされている．$\mathbb{H}$は忠実充満なので（Bezrukavnikov-Yun）これで関係式のチェックが終わる．Homの同型のチェックはtilting加群の時と似た感じだろうか．

既約指標について

述べられている予想が正しければ，tilting加群の指標を決定することができる．これから$p\ge 2h - 2$だと既約指標を次のように決定することができる．

いくつか記号を用意する．$\mathbf{X}^+_1$を$\lambda\in\mathbf{X}^+$であって，全ての単純ルート$\alpha$に対して$\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle < p$を満たすもののなす集合とする．このとき，任意の$\lambda = \mathbf{X}^+$は$\lambda = p\gamma + \eta (\gamma\in \mathbf{X}^+, \eta\in\mathbf{X}^+_1)$と書ける．$w_0\in W_{\mathrm{f}}$を最長元とする．$\lambda = (p - 1)\rho + p\gamma + \eta\in (p - 1)\rho + \mathbf{X}^+$に対して$\lambda^\vee = (p - 1)\rho + \gamma + w_0\eta$とおく．これは$\mathbf{X}^+$の元を与え，全単射$(p - 1)\rho + \mathbf{X}^+\to \mathbf{X}^+$を与える．$y\in {}^{\mathrm{f}}W$に対して，$\hat{y}\in {}^yW$を$(\hat{y}\cdot \lambda)^\vee = y\cdot \lambda$で定める．最後に，$w\in {}^{\mathrm{f}}W$であって，$\langle w\cdot \lambda_0,\alpha^\vee\rangle < p(h - 1)$が全ての正ルートに対して成り立つようなもの全体を${}^{\mathrm{f}}W_0$とおく．

$p\ge 2h - 2$とする．$x,y\in {}^{\mathrm{f}}W_0$に対して， \[ [\Delta(x\cdot \lambda_0) : \mathbb{L}(y\cdot \lambda_0)] = (\mathbb{T}(\hat{y}\cdot \lambda_0) : \nabla(x\cdot \lambda_0)) \] が成り立つ．

右辺が$p$-canonical basisでかけるというのが予想の帰結．よって$\mathbb{L}(y\cdot \lambda_0)$の指標が書ける．一般の$y$に対してはSteinbergのテンソル積公式で出るんだと思う．仮定$p\ge 2h - 2$はどのくらい本質的なんだろう．

$\mathrm{GL}$

$\mathrm{GL}$の場合は予想は示されている．

$n\ge 3$，$G = \mathrm{GL}_n$，$\lambda_0 = (n,\ldots,n)$の時予想は正しい．

$n = 1$ももちろんO.K.で，$n = 2$はアフィンルート系が違って面倒なので条件から外したらしい．