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標数$p > 0$の場合

本題．$k$を標数$p > 0$の閉体，$G$を$k$上の連結簡約代数群とし，$G$の代数的な表現のなす圏$\mathrm{Rep}G$を考える．極大トーラス$T$を固定し，$\mathbf{X} = X^*(T)$，$\Phi\subset \mathbf{X}$をルート全体とする．また$\mathbf{X}^+$を支配的な元全体とする．（記号を変えて）Weyl群を$W_{\mathrm{f}}$と書き，$w\in W = W_{\mathrm{f}}\ltimes \mathbb{Z}\Phi$を（双対群の）affine Weyl群とする．これは“p-dilated dot action”により$\mathbf{X}$に作用する．この作用を$w\cdot \lambda$（$w\in W,\lambda\in \mathbf{X}$）と書く．

$\lambda\in \mathbf{X}^+$に対して最高ウェイト$\lambda$の既約表現$L(\lambda)$が存在し，$\mathrm{Rep}G$の既約表現はこれで尽きる．また$p > h$（$h$はCoxeter数）と仮定し，$\lambda_0\in \mathbf{X}^+$を全ての正ルート$\alpha$に対して$0 > \langle \alpha,\lambda_0 + \rho\rangle < p$を満たすものとして固定し，$\mathrm{Rep}_0G$を$L(\lambda_0)$を含むブロックとする．$\mathrm{Rep}_0G$の既約表現全体は$\mathbb{L}(w\cdot \lambda_0)$となる．なお，$w\cdot \lambda_0$は支配的である必要がある．これは次のように言い換えられる．${}^{\mathrm{f}}W$を$W_{\mathrm{f}}\backslash W$の最短長さを持つ代表元全体とすると，$w\mapsto w\cdot \lambda_0$により${}^{\mathrm{f}}W\simeq W\cdot \lambda_0\cap \mathbf{X}^+$となる．

$\mathrm{Rep}_0G$も最高ウェイト圏であり，標準加群$\Delta(w)$，余標準加群$\nabla(w)$を持ち，$\{[\Delta(w)]\}$はGrothendieck群$[\mathrm{Rep}_0G]$の基底となる．よって同型$[\mathrm{Rep}_0G]\simeq \bigoplus_{w\in {}^{\mathrm{f}}W}\mathbb{Z}w$を得る．この場合もwall-crossing functor $\Xi_s$が，今度はaffine Weyl群$W$の単純鏡映全体$S$の元$s$ごとに存在し，やはり$[\mathrm{Rep}_0G]$は右$W$表現の構造を持つ．これを加味して右辺を変えると，次の$W$表現としての同型： \[ [\mathrm{Rep}_0G] \simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathbb{Z}[W_{\mathrm{f}}]}\mathbb{Z}[W] \] を得る．ただし$\mathrm{sgn}(w) = (-1)^{\ell(w)}$は符号表現である．

この同型をcategorifyしたい．

diagramatic Hecke category

圏$\mathcal{O}$における$\mathrm{BS}$の類似が必要となる．$\mathrm{BS}$は係数が標数正でも定義されるが，これは正しい対象にはならない．その代わりに，Elias-Williamsonにより導入されたdiagramatic Hecke category $\mathcal{D}$を使う．

$\mathcal{D}$はその名の通りdiagramaticに定義される．$\mathcal{D}$の対象は$S$の元の列$(s_1,\ldots,s_r)$である．これを横に点々と並べて書く．射はこの点々の間を結ぶグラフ全体（で特別な形をしたもの）であり，適当な関係式（すげー複雑）で割られている．構成はやたら複雑だが，$\mathrm{BS}$と同じような性質を持っている．

• 次数構造を持つ加法圏である．
• $(s_1,\ldots,s_r)\otimes (s'_1,\ldots,s'_{r'}) = (s_1,\ldots,s_r,s'_1,\ldots,s'_{r'})$によりモノイド圏の構造が入る．
• 各$w\in W$に対して対象$B_w$が定まり，$\mathcal{D}$のindecomposableな対象はこれとそのシフトで尽きる．
• 環同型$\mathrm{ch}\colon [\mathcal{D}]\simeq \mathcal{H}$が存在する．
• 係数体の標数が$0$ならば$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}$と圏同値になる．．

さきほどの同型の右辺は$\mathbb{Z}[W]$ではなかったので，これから少し変更する必要がある．圏$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$を，対象は$\mathcal{D}$と同じもの，射を \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(X,Y)/ I(X,Y),\] ただし$I(X,Y)$は$X$から$Y$への射で，ある$w\notin {}^{\mathrm{f}}W$に対して$B_w$を経由するもの，とすることで定める．すると，$\mathrm{ch}$は同型 \[ [\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}] \simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathcal{H}_{\mathrm{f}}}\mathcal{H} \] を定める．ただし$\mathcal{H}_{\mathrm{f}}$は有限Weyl群に対するHecke環で，$\mathrm{sgn}$はその符号表現．

$\mathcal{D}$の対象をテンソルすることで，$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$には$\mathcal{D}$が作用する．そこから$[\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}]$は$[\mathcal{D}] \simeq \mathcal{H}$加群の構造を持つ．上の同型は$\mathcal{H}$加群としての同型である．

$\mathrm{ch}(B_w)$を$p$-canonical basisという．

この基底を計算するアルゴリズムがある．また，$w$を固定すると，十分大きな$p$に対してこれはKazhdan-Lusztig基底と一致する．ただし，この$p$を$w$によらずにとることはできない（らしい）．

tilting加群

$X\in \mathrm{Rep}G$のフィルトレーションが$\Delta$-flag（resp. $\nabla$-flag）とは，その隣接商が$\Delta(\lambda)$（resp. $\nabla(\lambda)$）と同型なことである．$X$は$\Delta$-flagと$\nabla$-flagを持つ時，tiltingであると呼ばれる．これは次の性質を持つ．

• 直和，直和因子について閉じていて，tilting加群全体のなす圏$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}G)$は加法圏．
• wall-crossing functorについて閉じている．よって$[\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)]$は$\mathbb{Z}[W]$加群の構造を持つ．
• $X$の$\Delta$-filtrationの隣接商における$\Delta(\lambda)$の数を$(X:\Delta(\lambda))$と書くと，これは$\Delta$-flagの取り方によらず，$[X]\mapsto \sum_{w\in {}^{\mathrm{f}}W}(X:\Delta(w\cdot \lambda_0))w$は$W$表現としての同型$[\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)]\simeq \mathrm{sgn}\otimes_{\mathbb{Z}[W_{\mathrm{f}}]}\mathbb{Z}[W]$を与える．
• $\lambda\in \mathbf{X}^+$に対してindecomposable tilting加群$\mathbb{T}(\lambda)$が存在し，$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}G)$のindecomposable tilting加群はこれで尽きる．

というわけで予想は次の通り．$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$を$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$の次数を忘れたものとする．

同型$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)\simeq \mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$で$\mathbb{T}(w\cdot \lambda)$を$B_w$に送るものが存在する．

もしこの予想が正しければ，右辺には圏$\mathcal{D}$が作用するので，左辺にも作用することになる．これから$\mathrm{Rep}_0G$に$\mathcal{D}$が作用する．

$\mathrm{Rep}_0G$への$\mathcal{D}$の作用が存在する．（生成元の行き先などは指定されている．）

実は後ろの予想は前の予想を導く．

もし$\mathrm{Rep}_0G$への$\mathcal{D}$の作用が存在すれば，$\mathrm{Tilt}(\mathrm{Rep}_0G)\simeq \mathcal{D}^{\mathrm{asph}}_{\mathrm{deg}}$．

もちろん関手は作用を使って$B\mapsto \mathbb{T}(\lambda_0)B$により与えられる．Homの間の同型を示せば良いのだが，wall-crossing functorの解析をうまくしているように見える．（tilting加群の方が少し大変っぽい．前者と次元の評価でしている．）

予想の帰結として，$[\mathbb{T}(w\cdot \lambda)]$の指標は$p$-canonical basisで記述されることが従う．ここまでの話は（$\lambda_0$が存在しなければならないので）$p > h$を仮定していたが，この事実は常に成り立つと予想している．もちろん，$\lambda_0$が存在すれば，translation functorによってこれは$\lambda_0$の場合に帰着される．

予想から，あれ，$\mathrm{Rep}_0G$に$R$の作用が入るのかと思ったけど，$\mathcal{D}^{\mathrm{asph}}$に言った段階で$R\to k$を経由してしまうらしい．（$s = s_\alpha$に対して$\alpha^\vee$倍が$B_e\to B_s\to B_e$で実現できるので．）