arXiv:1512.08296を眺めている（≠読んでいる）．メモ．あっている保証はない．間違っていたら教えてください．

圏$\mathcal{O}$の場合

まずはもととなる圏$\mathcal{O}$の場合から．$\mathcal{O}_0$を圏$\mathcal{O}$の自明表現を含むブロックとすると，この圏の既約表現はWeyl群$W$でパラメトライズされる：$\{L(w)\mid w\in W\}$．そしてこの圏は最高ウェイト圏なので，標準加群$\{\Delta(w)\}$が存在する．Grothendieck群$[\mathcal{O}_0]$は$\{[\Delta(w)]\}$を基底とする自由$\mathbb{Z}$加群である．従って自由$\mathbb{Z}$加群としての同型$[\mathcal{O}_0]\simeq \mathbb{Z}[W]$が存在する（右辺は群環）．

この同型は自由$\mathbb{Z}$加群以上の構造を持つ．$s\in W$を単純鏡映とし，$\Xi_s$をそれに付随するwall-crossing functorとすると，$[\Xi_s\Delta(w)] = [\Delta(w)] + [\Delta(ws)]$が成り立つ．つまり，$[\mathcal{O}_0]$への$W$の右作用を，単純鏡映$s\in W$に対して$[X]\mapsto [\Xi_s X] - [X]$で定めると，同型$[\mathcal{O}_0]\simeq \mathbb{Z}[W]$は右$W$加群としての同型になる．

Soergel双加群により，この同型をcategorifyすることができる．$\mathrm{BS}$をSoergel双加群の圏としよう．$\mathfrak{h}$をCartan部分代数とすると，$\mathrm{BS}$は$R = S(\mathfrak{h})$双加群の，直和および直和因子について閉じている部分圏で，また更にテンソル$\otimes_R$によってモノイド圏の構造を持つ．従って，$\mathrm{BS}$の分裂Grothendieck群*1$[\mathrm{BS}]$は積構造を持つ．更にcharacter map $\mathrm{ch}\colon [\mathrm{BS}]\to \mathbb{Z}[W]$が存在し，これは環同型を与える．

上の同型の圏バージョンは次の通り．$\mathrm{BS}_{\mathbb{C}}$を$\mathrm{BS}$から$\otimes_R\mathbb{C}$して得られるものとする．また$\mathrm{Proj}\mathcal{O}_0$を$\mathcal{O}_0$の射影加群のなす部分圏とする．このとき \[ \mathrm{Proj}\mathcal{O}_0 \simeq \mathrm{BS}_{\mathbb{C}} \] が成り立つ．*2

更に幾何学的対象と次のように結びつく．$G/B$を旗多様体とし，$\mathrm{Perv}_{(B)}(G/B,\mathbb{C})_{\mathrm{ss}}$を$B$軌道に対してスムーズな$G/B$上の半単純偏屈層全体のなす圏とすると，圏同値$\mathrm{BS}_{\mathbb{C}}\simeq \mathrm{Perv}_{(B)}(G/B)_{\mathrm{ss}}$が成り立つ．

圏同値に対する注意が二つほど．$\mathrm{BS}$は$R$双加群の圏の部分圏だったが，これを次数付き$R$双加群の圏に置き換えることで，次数構造を持つ圏$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}$を得る．次数のずらし$X\mapsto X\langle 1\rangle$はGrothendieck群の間の同型$[\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}]\to [\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}]$を与える．これを$v$と書くと$[\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}]$は$\mathrm{Z}[v,v^{-1}]$加群となる．すると，環同型$[\mathrm{BS}]\simeq \mathbb{Z}[W]$は，同型 \[ \mathrm{ch}\colon [\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}]\simeq \mathcal{H} \] に持ち上がる．ここで右辺は有限Coxeter系に付随するHecke環である．同様に，$\mathrm{Perv}_{(B)}(G/B,\mathbb{C})_{\mathrm{ss}}$も$\mathrm{Perv}_{(B)}(G/B,\mathbb{C})_{\mathrm{ss}}$の対象のshiftの直和のなす圏$D^b_{(B)}(G/B,\mathbb{C})_{\mathrm{ss}}$に変更することで，次数構造$X\mapsto X[1]$が入り，さきほどの同型は$\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$加群としての同型となる．最後の一つ，$\mathrm{Proj}\mathcal{O}_0$には次数構造が見えない．むしろ，上の二つの次数構造を引き戻すことで，$\mathrm{Proj}\mathcal{O}_0$に次数構造を入れることができる．$\mathrm{Proj}\mathcal{O}_0$は$\mathcal{O}_0$自身を支配するので，$\mathcal{O}_0$にも次数が入る（Beilinson-Ginzburg-Soergel）．

対象に対して，この圏同値では次のような対応がある：$P(w)\longleftrightarrow B_w \longleftrightarrow \mathrm{IC}_w$．ここで$P(w)$は$L(w)$の射影被覆，$\mathrm{IC}_w$は$BwB/B\subset G/B$に対応する単純偏屈層，また$B_w$はindecomposable Soergel双加群である．（実際には$B_w$は$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}$で定義され，ここでの$B_w$はそれが落ちてきたもの．）indecomposable Soergel双加群は純粋に$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}$のみで定義される．次の予想はSoergel予想と呼ばれる．

$\mathrm{ch}(B_w)\in \mathcal{H}$はKazhdan-Lusztig基底．

もちろんこの文脈では，これは圏同値$\mathrm{BS}_{\mathrm{gr}}\simeq D^b_{(B)}(G/B,\mathbb{C})_{\mathrm{ss}}$とKazhdan-Lusztigによる定理の帰結にしかならないが，Soergel双加群は任意の生成元の数が有限なCoxeter系に対して定義することができ，同じ予想を立てることができる．（Elias-Williamsonにより解決済み．）

なんか疲れたので本題は明日に．

*1

Objectを生成元とし，$[X \oplus Y] = [X] + [Y]$で関係式を定めたもの．$\mathrm{BS}$は加法圏でしかないため．

*2

よく見るのは左辺をdeformed categoryにしたものなので，これであっているかちょっと不安……．