この前のBhargavaの話でこんなんが出てきた．記憶とGoogle検索のみを頼りに書いているので正しいとは限らない．連分数 \[ x = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \ddots}}}} \] を考えてみる．収束することを仮定すれば値を求めるのは難しくない．この \[ 1 + \dfrac{1}{\color{red}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \ddots}}}}} \] 赤くなっている部分が全体と同じなので，この部分を$x$に置き換えると \[ x = 1 + \frac{1}{x} \] となる．分母を払って整理すれば \[ x^2 - x - 1 = 0 \] となるので，二次方程式を解けば \[ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \] となる．黄金比ですね．

もちろんこんなことをRamanujanが考えた，という話ではない．（いや考えたかもしれないがこれだけで終わっては話題にならない．）次のような一般化を考える． \[ R(q) = 1 + \dfrac{q}{1 + \dfrac{q^2}{1 + \dfrac{q^3}{1 + \dfrac{q^4}{1 + \ddots}}}} \] 今計算したのは$R(1)$というわけだ．しかしこうなると \[ 1 + \dfrac{q}{\color{red}{1 + \dfrac{q^2}{1 + \dfrac{q^3}{1 + \dfrac{q^4}{1 + \ddots}}}}} \] の赤い部分はもう$R(q)$と同じじゃないので，さっきみたいには計算できない．Ramanujanはこんなことを言ったようだ．俺は$R(e^{-2\pi})$を計算できる．答えは \[ R(e^{-2\pi}) = 1 + \dfrac{e^{-2\pi}}{1 + \dfrac{e^{-4\pi}}{1 + \dfrac{e^{-6\pi}}{1 + \dfrac{e^{-8\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left(\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)e^{-2\pi/5} \] だ．もうなんかこの式一つですごい．（ちなみにKaTeXの例としてこの式がある．）実は$R(e^{-\pi\sqrt{r}})$を正の有理数$r$に対して計算できるぜ，とも言ったそうだ．なお，この値は殆ど代数的数になる．正確には$R_1(q) = R(q)q^{-1/5}$とおくと，正の有理数$r$に対して$R_1(e^{-2\pi \sqrt{r}})$は代数的数になる．

ネタばらしとしては，この$R_1(q)$はレベル5のモジュラー関数の$q$展開を与える，ということらしい．なので，虚数乗法論から$R(e^{-2\pi \sqrt{r}}) = R_1(e^{2\pi \sqrt{-1}\sqrt{-r}})$は代数的となり，$\mathbb{Q}$上の二次拡大のAbel拡大を与える，ということのようだ．たとえば上の$R_1(e^{-2\pi})$は$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$のAbel拡大を与える．まぁでもRamanujanはそういうことは言ってないんでしょうが……．