授業．一時間半話すなんてもしかしてかなり久しぶりなんじゃなかろうか．セミナーとかで話してもだいたい一時間だし．まぁJussieuのは一時間から一時間半の間で適当にって感じだったけど（でも一時間で済ませていたように思う）．ともかく疲れた．

Jacquet加群と放物型誘導表現の合成は幾何的補題により計算されるけど，これを$\mathbb{Z}$上で考えてみた．$G = \mathrm{GL}_2$とし，$B = TU$をBorel部分群とする．$C$を可換環とする．もし$C$が標数$0$の体ならば，$(\mathrm{Ind}_B^G C)_U = C\chi\oplus C$となる．ただし単に$C$と書いたら自明表現，$\chi$はモジュラー指標かその$-1$乗か何か．$C$の部分は$G/B\simeq \mathbb{P}^1$の原点から来ていて，$\chi$の部分は残りの$C_c^\infty(B\backslash BsU)$から来る（$s$はWeyl群の非自明な元のリフト）．より正確には積分$\int\colon C_c^\infty(B\backslash BsU)_U\to C$が同型を与える．

$C = \mathbb{Z}$とする．原点からの寄与は変わらない．積分の方は，測度が整数でない集合があったりするので，値は当然$\mathbb{Z}$とは限らない．なんか具体的に像がどうなるかよくわからないのだが（$(1/p)\mathbb{Z}$で良い？）ともかく今度は$(\mathrm{Ind}_B^G \mathbb{Z})_U = \mathrm{Im}(\int)\chi\oplus \mathbb{Z}$となるようだ．

ちなみに$\mathrm{Ind}_B^G$は右随伴$R_B$を常に持つのだが，$R_B(\mathrm{Ind}_B^G\mathbb{Z}\chi) = \mathbb{Z}\chi$となるような気がする．なんか一瞬 $0 = \mathrm{Hom}_T(\mathbb{Z},\mathbb{Z}\chi) = \mathrm{Hom}_G(\mathbb{Z},R_B(\mathrm{Ind}_B^G(\mathbb{Z}\chi)) = \mathrm{Hom}_G((\mathrm{Ind}_B^G\mathbb{Z})_U,\mathbb{Z}\chi) = \mathrm{Hom}_T(\mathrm{Im}(\int)\chi\oplus \mathbb{Z},\mathbb{Z}\chi)$ とかして矛盾すると思ったんだけど，$\mathrm{Hom}(\mathrm{Im}(\int),\mathbb{Z}) = 0$だから特に矛盾はしなかった．