$A$を可換とは限らない環，$S\subset A$を積閉集合，$B$を$A$の$S$での局所化とする．ここで局所化とは$S$の元が単元になるような環で不変的なもの．可換の時とか，より一般に$S$がleft denominator setならば$B$は右$A$加群として平坦なんだけど，一般にはどうなんだろうと．

なんかぐるぐる無駄に回ってしまったんだけど，すんごく当たり前にダメだった．どうせ忘れるのでメモ．$A$を$X_1,X_2$を変数とする非可換多項式環，$S$を$X_1$と$X_2$で生成される積閉集合として， $f(a_1,a_2) = a_1X_1 - a_2X_2$ で$f\colon A^2\to A$を定義すると，右から$X_1$でも$X_2$でも割れる$A$の元はないので単射．$B\otimes_A$すると同じ式で定義される$F\colon B^2\to B$を得るけど，明らかに$F(X_1^{-1},X_2^{-1}) = 0$となる．