2017年5月18日

$A$を可換とは限らない環,$S\subset A$を積閉集合,$B$を$A$の$S$での局所化とする.ここで局所化とは$S$の元が単元になるような環で不変的なもの.可換の時とか,より一般に$S$がleft denominator setならば$B$は右$A$加群として平坦なんだけど,一般にはどうなんだろうと.

なんかぐるぐる無駄に回ってしまったんだけど,すんごく当たり前にダメだった.どうせ忘れるのでメモ.$A$を$X_1,X_2$を変数とする非可換多項式環,$S$を$X_1$と$X_2$で生成される積閉集合として, \[ f(a_1,a_2) = a_1X_1 - a_2X_2 \] で$f\colon A^2\to A$を定義すると,右から$X_1$でも$X_2$でも割れる$A$の元はないので単射.$B\otimes_A$すると同じ式で定義される$F\colon B^2\to B$を得るけど,明らかに$F(X_1^{-1},X_2^{-1}) = 0$となる.

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