$A$を$k$代数，$M$を単純左$A$加群，$D = \mathop{\mathrm{End}}_A(M)$とおく．$M$は自然に$D$加群である．次を示すのだった．

$A$は代数的かつ$0$以外の冪零元を持たないとする．このとき単純左$A$加群$M$は$D = \mathop{\mathrm{End}}_A(M)$上一次元である．

次の性質は結構有名．

$A$の$\mathop{\mathrm{End}}_D(M)$における像は次の意味で稠密である：$x_1,\ldots,x_r\in M$，$f\in \mathop{\mathrm{End}}_D(M)$とすると，ある$a\in A$が存在して$ax_1 = f(x_1),\ldots,ax_r = f(x_r)$が成り立つ．

$x = (x_1,\ldots,x_r)\in M^{\oplus r}$とおく．$M^{\oplus r}$は半単純であるので，$Ax\subset M^{\oplus r}$は直和因子．$p\colon M^{\oplus r}\to Ax$を射影とすると，$p$は$A$と可換なので$p\in D$であり，射影の定義から$Ax = \{y\in M^{\oplus r}\mid py = y\}$．$p\in D$であるから$f\in \mathop{\mathrm{End}}_D(M)$に対して$f$と$p$は可換なので，$Ax$は$f$で保たれる．特に$f(x) = ax$となる$a\in A$が存在し，これが補題の$a$を与える．

もし$M$が$D$上有限次元ならば，$x_1,\ldots,x_r$を基底にとればこれは$A\to \mathop{\mathrm{End}}_D(M)$が全射であることを示している．より一般に，有限次元部分$D$ベクトル空間$M'\subset M$に対して，$A' = \{a\in A\mid a(M')\subset M'\}$とおく．$x_1,\ldots,x_r\in M'$を基底とし，$f\in \mathop{\mathrm{End}}_{D}(M')$に対して，それを延長して$F\in \mathop{\mathrm{End}}_D(M)$をとる．補題からある$a\in A$が存在し$F(x_1) = ax_1,\ldots,F(x_r) = ax_r$が成り立つが，$F(x_i) = f(x_i)$より$f(x_i) = ax_i$．特に$ax_i\in M'$であるので$a\in A'$で，$M'$上の線形写像として$a = f$．つまり$A'\to \mathop{\mathrm{End}}_D(M')$は全射である．

さて，次に注意する．

$A$が代数的かつ$0$以外の冪零元を持たないとする．このとき$A$の部分代数および商代数も代数的かつ$0$以外の冪零元を持たない．

部分代数が代数的かつ$0$以外の冪零元を持たないことは明らか．また商代数が代数的となることも明らかである．よって商代数が$0$以外の冪零元を持たないことを示せばよい．$f\colon A\to B$を全射準同形とする．$b \in B$が冪零であるとし，$f(a) = b$となる$a\in A$をとる．

$a$は代数的であるので，ある多項式$\varphi$により$\varphi(a) = 0$となる．$\varphi$をこのような多項式の中で次数が最小のものとする．$\varphi(X)$を$\varphi(X) = \psi(X)X^s$，（$s\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$，$\psi(0)\ne 0$）と分解する．$s > 1$とし，$y = \psi(a)a$とおくと，$\varphi$の次数の最小性から$y\ne 0$であるが，$y^s = \psi(a)^sa^s = 0$となり$y$は$0$でない冪零元となる．これは$A$に関する仮定に反する．従って$s\le 1$であり，特に$\psi(a)a = 0$．

$\psi(a)a = 0$より$\psi(b)b = f(\psi(a)a) = 0$である．一方$b$は冪零であるので，$b^r = 0$となる$r\in\mathbb{Z}_{>0}$が存在する．$X$に関する多項式$\psi(X)X$と$X^r$の最大公約式は$X$であるので，これより$b = 0$となる．

目的の補題を示そう．$M'\subset M$を$D$上有限次元のベクトル空間とする．すると$A$の部分環$A'$と全射$A'\to \mathop{\mathrm{End}}_D(M')$があるのだった．$A$が代数的かつ冪零元を持たないことから，上の補題により$\mathop{\mathrm{End}}_D(M')$も冪零元を持たない．しかし$\dim_{D}(M') > 1$ならば$\mathop{\mathrm{End}}_D(M')$は冪零元を持つことが（簡単な行列計算により）わかるので，$\dim_D(M')\le 1$．$M'\subset M$は任意の有限次元ベクトル空間だったので，$\dim_D(M)\le 1$でなければならない．