最後に次を示す．

有限体上の代数的な斜体は可換である．

$k$を標数$p$の有限体，$D$をその上の代数的な斜体，$C$を$D$の中心とし，$C\ne D$と仮定する．$x\in D\setminus C$をとる．$x$は代数的であるので$k(x)$は$k$上の有限次拡大，特に巡回拡大．よって$C(x)/C = Ck(x)/C$も巡回拡大である．$\sigma$を$\mathop{\mathrm{Gal}}(C(x)/C)$の生成元とすると，$\sigma\colon C(x)\to C(x)$は以下の定理により$D$上の内部自己同型にのびる，つまりある$y\in D$により$\sigma(x) = yxy^{-1}$となる．適当な$p$の冪$q$により$\sigma(x) = x^{q}$であるので，$yxy^{-1} = x^{q}$．これと$x,y$が代数的であることから，$k(x,y)$は$k$上有限次元であり，従って有限斜体．これは有限斜体が可換であることを主張するWedderburnの小定理に反する．

使った定理（よく知られている？）は以下の通り．（Skolem-Noetherっぽいだけと有限性の仮定が一見弱い．証明は同じ．）$k = C$として使う．

$D$を$k$上の斜体とし，$D$の中心は$k$であるとする．$A\subset D$を$k$上の有限次元部分斜体とすると，$A$の任意の自己同型は$D$の内部自己同形に伸びる．

$A,D,k$を定理の通りとし，ベクトル空間$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$（$D^\mathrm{op}$は$D$の反転環）に積を$(a_1\otimes d_1)(a_2\otimes d_2) = a_1a_2\otimes d_1d_2$と入れる．次の補題は後で示す．

既約$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$加群はすべて同型．

自己同型$\varphi\colon A\to A$に対して，$A\otimes_kD^{\mathrm{op}}$加群$V_1,V_2$を次で定める．加法群としては$V_1 = V_2 = D$であり，$a\otimes d\in A\otimes D^{\mathrm{op}}$に対して，$v\in V_1$ならば$(a\otimes d,v)\mapsto avd$，$v\in V_2$ならば$(a\otimes d,v)\mapsto \varphi(a)vd$として$A\otimes_kD^{\mathrm{op}}$加群の構造を定める．$1\otimes_k D^{\mathrm{op}}\subset A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$に制限して考えれば$V_1,V_2$は既約であるので，$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$加群としても既約．よって補題から$V_1\simeq V_2$である．同型$f\colon V_1\to V_2$をとり，$b = f(1) \in V_2 = D$とおくと，$v\in V_1$に対して$f(v) = f(1\times v) = f(1)v = bv$である．また$A$線形であることから，$a\in A$に対して$\varphi(a)b = \varphi(a)f(1) = f(a) = ba$．よって$\varphi(a) = bab^{-1}$となり定理が示された．

最後に補題3を示す．先に次を示しておく．

$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$は単純環，つまり非自明な両側イデアルを持たない．

$I\subset A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$を$0$でない両側イデアルとし，$0$でない$x = a_1\otimes d_1 + \cdots + a_n\otimes d_n\in I$をとる．ただし$a_1,\ldots,a_n$は$k$上一次独立で，$n$はこのような中で最小（特にすべての$i$で$d_i\ne 0$）なものとしておく．$1\otimes d_1^{-1}$をかけることで，$d_1 = 1$としてよい．$d\in D^{\mathrm{op}}$に対して \[(1\otimes d)x - x(1\otimes d) = a_2\otimes (dd_2 - d_2d) + \cdots + a_n\otimes (dd_n - d_nd)\] であり，これは$I$の元．よって$n$の最小性から$dd_i = d_id$がすべての$i = 2,\ldots,n$と$d\in D^{\mathrm{op}}$に対して成り立つ．従って各$d_i$は$D^{\mathrm{op}}$の中心，すなわち$k$の元である．$a = d_1a_1 + \cdots + a_nd_n$とおけば$x = a\otimes 1$．よって$1\otimes 1 = (a^{-1}\otimes 1)x\in I$．従って$I = A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$である．

補題3を示す*1．$B = A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$とおき，$I\subset B$を既約な左$B$加群とする*2．$IB\subset B$は両側イデアルであるから，補題4から$IB = B$．よって$B = \sum_{b\in B}Ib$となる．$b\in B$に対して，$x\mapsto xb$は全射準同形$I\to Ib$を与える．$I$は既約であるので核は$I$全体か$0$であり，それに従って$Ib = 0$または$Ib\simeq I$である．つまり$B$は$I$と同型な既約部分加群の和としてかける．よって$B$は左$B$加群として半単純で，また（半単純加群のよく知られた性質により）左$B$加群として$B \simeq I^n$となる．（$n\in \mathbb{Z}_{>0}$．$n$が有限であることは$D^{\mathrm{op}}$上の次元から従う．）任意の既約$B$加群は$B$の商であるので，これは$I$に同型となる．

*1

$D^{\mathrm{op}}$上有限次元なことから$A\otimes_k D^{\mathrm{op}}$はArtinな単純環なのでそれから従うが，一応証明をしておく．

*2

$D^{\mathrm{op}}$上の次元が最小なものをとればよい．