セミナー．Gan-Gros-Prasad予想の$U(n)\times U(n + 1)$の場合．$E/F$を数体の二次拡大，$V$を$n + 1$次元Hermite空間，$W\subset V$を$n$次元部分空間で$V = W \oplus W^\perp$となるものとし，$G = U(W)\times U(V)\supset H = U(W)$を考える．$\pi$をcuspidal automorphic representation $\pi$に対して，$P_\pi\colon \pi\to \mathbb{C}$を$P_\pi(\varphi) = \int_{H(F)\backslash H(\mathbb{A}_F)}\varphi(h)dh$で定義する．これがいつ消えるかを知りたい．他の$V',W'$をとって$G'$を同様に考えたとする．$G'$のcuspidal automorphic representation $\pi'$に対して$\pi$と$\pi'$がnearly equivalentであるとは，有限個の素点をのぞき$\pi$と$\pi'$が一致することである．$\Pi$を$\pi$の$\mathrm{Res}_{E/F}(\mathrm{GL}_n\times \mathrm{GL}_{n + 1})$へのbase changeとし，L関数$L(s,\Pi,\mathrm{St})$を考える．

定理は次の通り．ある素点$v_1,v_2$が存在していて，$\pi_{v_1}$はsupercuspidal，$\pi_{v_2}$はtemperedであるとする．このとき$L(1/2,\Pi,\mathrm{St}) \ne 0$とある$\pi$とnearly equivalentな$\pi'$（および$W'$）が存在し$P_{\pi'}\ne 0$は同値．条件としてさらに全ての無限素点で$E/F$は$\mathbb{C}/\mathbb{R}$とならないという条件を課しておくと，これはZhangにより示されていたらしく，今回は仮定を弱めたということのようだ．Jacquet-Rallisのrelative trace formulaというのがあって，$L$関数の消滅をはかる量と$P_{\pi'}$の消滅をはかる量が一致する．このことから，問題はtransferの存在に帰結される．Zhangはtransferが存在することを$E_v/F_v\ne \mathbb{C}/\mathbb{R}$を使って示していたけど，今回はそれより弱く「transferが存在する関数はdense」を示すことにしたそうだ．