必要があり，前からさぼっていたDyerのReflection subgroups of Coxeter systemsを眺めている．メインはCoxeter群の鏡映で生成される部分群がまたCoxeter群（放物型とは限らない）になるというもの．メモがてら．

$G$を群，$S\subset G$を生成系とし，任意の$s\in S$は位数$2$であるとする．（Dyerは位数の制限なしにやっているがCoxeter系に限ればこれで十分．）$T = \bigcup_{g\in G}gSg^{-1}$とおく．

$(G,S)$がCoxeter系であるとし，$G'\subset G$を$G'\cap T$で生成される部分群とする． この時ある$S'\subset G'\cap T$が存在して$(G',S')$はCoxeter系．

最初にCoxeter群の特徴づけがあるcocycleの存在で行われている．$g\in G$は$s_{1},\ldots,s_{l}\in S$により$g = s_{1}\cdots s_{l}$とかけるが，$l$が最小の時reduced expressionと呼び$l = \ell(g)$と書く．よく知られている通り，$(G,S)$がCoxeter系であるための条件はexchange conditionが成り立つことである．（例えばBourbaki，Lie Groups and Lie algebras，Chapter IV, 1.6 Theorem 1）

$(G,S)$がCoxeter系であるための必要十分条件は次のexchange conditionが成り立つこと：$g\in G$，$s\in S$とし，$\ell(sg) < \ell(g)$とする．この時任意のreduced expression $g = s_{1}\cdots s_{l}$に対してある$i$が存在し， \[ ss_{1}\cdots s_{i - 1} = s_{1}\cdots s_{i} \] が成り立つ．

Coxeter系がこの条件を成り立つことは次を使い示される．

reduced expression $g = s_{1}\cdots s_{l}$に対して，$t_{i} = (x_{1}\cdots x_{i - 1})x_{i}(x_{1}\cdots x_{i - 1})^{-1}$とおく． もし任意の$g$に対して，集合$N'(g) = \{t_{1},\ldots,t_{l}\}$がreduced expressionのとり方によらないのならば，$(G,S)$はexchange conditionを満たす．

$s \in S$，$g\in G$とし$\ell(sg) < \ell(g)$とする． $sg$のreduced expression $t_{1}\cdots t_{l - 1}$をとると$g = st_{1}\cdots t_{l - 1}$はreduced expression． この表示から$s\in N'(g)$なので，ある$i$により$s = t_{i}$． これを書き換えればexchange conditionを得る．

Dyerはこれをあるcocycleの存在で置き換えている．$M_{G} = \bigoplus_{t\in T}\mathbb{F}_{2}t$を$T$の元を基底とする$\mathbb{F}_{2}$部分空間とする．$g\cdot t = gtg^{-1}$によりこれは$G$の表現である．$M_{G}$の元は$T$の有限部分集合と一対一に対応する．従って上の$N'(g) = \{t_{1},\ldots,t_{l}\}$を考えることは$N(g) = \sum_{i}t_{i}\in M_{G}$を考えることと同じ．この$N$が満たすべき条件は次のように公理化できる．

$N\colon G\to M_{G}$をcocycle（つまり$N(gh) = N(g) + g\cdot N(h)$を満たす）であって，$x\in X$ならば$N(x) = x$となるものとする．この時$(G,X)$をreflection systemと呼ぶ．以下このような$N$が与えられているとする．$N(g) = \sum_{t}N_{t}(g)t$と$N_{t}(g)\in \mathbb{F}_{2}$を定める．次は定義を繰り返し使えばよい．

$x_{1},\ldots,x_{l}\in X$に対して，$g = x_{1}\cdots x_{l}$および$t_{i} = (x_{1}\cdots x_{i - 1})x_{i}(x_{1}\cdots x_{i - 1})^{-1}$とおく． この時$N(g) = \sum_{i}t_{i}$．

上の補題においてさらに$g = x_{1}\cdots x_{l}$がreduced expressionであるとする． この時$i\ne j$ならば$t_{i}\ne t_{j}$． 特に$\{t_{1},\ldots,t_{n}\} = \{t\in T\mid N_{t}(g)\ne 0\}$はreduced expressionのとり方によらない．

$i < j$，$t_{i} = t_{j}$とすると$g = x_{1}\cdots x_{i - 1}x_{i + 1}\cdots x_{j - 1}x_{j + 1}\cdots x_{l}$となりreduced expressionであることに反する．

従って$(G,S)$がreflection systemならばCoxeter系である．

部分群$G'\subset G$に対して，射影$\mathrm{pr}_{G'}\colon M_{G} = \bigoplus_{t\in T}\mathbb{F}_{p}t\to \bigoplus_{t\in T\cap G'}\mathbb{F}_{p}t = M_{G'}$を考える．次は定義から容易にわかる．

$g\in G$，$m\in M_{G}$に対して，$\mathrm{pr}_{gG'g^{-1}}(g\cdot m) = g\cdot \mathrm{pr}_{G'}(m)$．

特に$g\in G'$ならば$gG'g^{-1} = G'$であるから（$G'$が部分群なので）$\mathrm{pr}_{G'}$は$G'$準同型．このことから次がわかる．

$G'\subset G$が部分群ならば$\mathrm{pr}_{G'}\circ N\colon G'\to M_{G'}$はcocycle．

よってある部分集合$X' \subset G'$で，$x\in X'$ならば$\mathrm{pr}_{G'}(N(x)) = x$となるものが存在すれば$(G',X')$はCoxeter系になる．このような$X'$は安直に \[ X(G') = \{t\in G'\cap T\mid \mathrm{pr}_{G'}(N(t)) = t\} \] とおくことで得られる．次を示せば$G'$が$T\cap G'$で生成されているならば$(G',X(G'))$がCoxeter系であることが従う．

$T\cap G'$は$X(G')$で生成される部分群に含まれる．

$t\in T\cap G'$とし，主張を$\ell(t)$に関する帰納法で示す． $X(G')$で生成される部分群を$\langle X(G')\rangle$と書く． $\ell(t) = 1$，すなわち$t\in S$ならば$t\in X(G')$なので明らか． $\ell(t) > 1$とする． $t$のreduced expressionは$s_{1}\cdots s_{l}s's_{l}\cdots s_{1}$という形をしているので（有名事実だがこの後に証明を書くことにする），ある$s\in S$が存在して$\ell(sts^{-1}) < \ell(t)$． 帰納法の仮定から$sts^{-1}\in \langle X(sG's^{-1})\rangle$． $s\in G'$ならば$X(sG's^{-1}) = X(G')$および$s\in X(G')$なのでよい． $s\notin G'$の時に$X(sG's^{-1}) = sX(G')s^{-1}$となることを示そう． $g\in X(sG's^{-1})$とし，$s^{-1}gs\in X(G')$を示す． $\mathrm{pr}_{G'}(N(s^{-1}gs))$を計算しよう． cocycle条件により \[ N(s^{-1}gs) = N(s^{-1}) + s^{-1}\cdot N(g) + s^{-1}g\cdot N(s) = s^{-1} + s^{-1}\cdot N(g) + s^{-1}g\cdot s \] であるが，$s\notin G'$から$\mathrm{pr}_{G'}(s^{-1}) = 0$． また$g\in sG's^{-1}$なので，$s^{-1}g\cdot s\in (s^{-1}gs)\cdot s$はやはり$s\notin G'$から$G'$に入らない． 従って，$g\in X(sG's^{-1})$から \[ \mathrm{pr}_{G'}(N(s^{-1}gs)) = \mathrm{pr}_{G'}(s^{-1}\cdot N(g)) = s^{-1}\cdot \mathrm{pr}_{sG's^{-1}}(N(g)) = s^{-1}\cdot g \] となり$s^{-1}gs\in X(G')$となる．

書くといったやつ．

$t\in T$とすると，あるreduced expressionで$t = s_{1}\cdots s_{l}ss_{l}\cdots s_{1}$の形のものがある．

$t$の長さを$2l + 1$とし，とりあえず簡約表示$t = s_{1}\cdots s_{2l + 1}$をとる．$tt = 1 < t$なので，exchange conditionから$ts_{1}\cdots s_{i} = s_{1}\cdots s_{i + 1}$となる$i$が存在する．$t = s_{1}\cdots s_{i}s_{i + 1}s_{i}\cdots s_{1}$．右辺の単純鏡映の数は$\ell(t) = 2l + 1$以上なので$i\ge l$．一方 \[ t = t^{-1}tt = (s_{1}\cdots s_{2l + 1})^{-1}s_{1}\cdots s_{i}s_{i + 1}s_{i}\cdots s_{1}(s_{1}\cdots s_{2l + 1}) = s_{2l + 1}\cdots s_{i + 2}s_{i + 1}s_{i + 2}\cdots s_{2l + 1} \] となるので$i\le l$．よって$t = s_{1}\cdots s_{i}s_{i + 1}s_{i}\cdots s_{1}$は簡約表示で，$s = s_{i + 1}$とおけばよい．