たまに京大の95年後期文系四番が流れてくる．問題文は例えばここで見られるが，大体次のような感じ．

$f(n)$を$n$を$7$で割った余りとする．

1. $f(n^7) = f(n)$を示せ．
2. 好きな自然数$n$に対して$g(n) = 3f(\sum_{k = 1}^7k^n)$を計算せよ．その値をこの設問の得点とする．

二つ目の「得点とする」が笑えます．$f$の値は6を超えることはないので，最大18点なわけですが，答えを先に言うと$n = 6$でこの18点を獲得できる．そして，$n = 1,2,3,4,5$では0点となる．何も考えずに最初から計算していくと泣くことになるわけですね……．実はこの「いじわる」は裏があります．以下非数学者向け．KaTeX使ってみたいので書いてみる．

この問題を解く上で，「ある計算結果を$7$で割った余りを求めるには，計算途中で$7$で割った余りに置き換えてよい」ということは知らないとならないだろう．（$7$でなくてもよいが．）例えば$10\times 10$を$7$で割った余りを求めるには，まず$10$を$7$で割った余り$3$に置き換えて，$3\times 3= 9$を$7$で割って余り$2$と計算すればよい．もちろん先に計算してもよくて，$10\times 10 = 100 = 7\times 14 + 2$です．（もっと洗練された書き方が合同式．）それを知っていれば，一番は$n = 0,1,2,3,4,5,6$だけでチェックすればよいことがわかる．ちなみに1番はFermatの小定理と呼ばれる定理．

2番は1番を使えということでしょうか．1番はようするに$n^7 - n = n(n^6 - 1)$が$7$で割り切れるということですが，$n$が7の倍数でなければ$n^6 - 1$が$7$で割り切れる，つまり$n^6$を$7$で割った余りが$1$ということ．なので，$n =6$として2を計算すると，$k =7$以外のところは全部余り$1$になり，もちろん$k =7$のところは$0$なので，無事最大値18を達成することができる．

というわけで答えだけならばこれで十分なのですが……何故他は全部$0$になってしまうのか．このからくりは，例えば次のような形で説明できます．例えば$2,4,6,8,10,12$を$7$で割った余りを計算すると$2,4,6,1,3,5$となり，順番は違うけど$1,2,3,4,5,6$となります．なので，さきほどの「計算途中で余りに置き換えてよい」ということから，$f(2^n + 4^n + 6^n + 8^n + 10^n + 12^n) = f(1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n) = g(n)$です．左辺は$2^n$をくくり出すと，$2^ng(n)$を$7$で割った余りに等しくなります．言い換えると，$(2^n - 1)g(n)$は$7$で割り切れます．例えば$n = 1$だと$g(1)$が$7$で割り切れることになって，よって$g(1) = 0$です．$n = 2,4,5$でも$2^n - 1$は$7$の倍数ではないので，$g(n)$が$7$の倍数にならないといけなくて，$g(n) = 0$となります．$n = 3$ではこれはうまく行きませんがが，2の代わりに3を使うとやっぱり$g(3) = 0$となります．

本当でしょうか．$3,6,9,12,15,18$を$7$で割った余りは，（順番は違うけど）$1,2,3,4,5,6$になるのでしょうか？そうならなかったとしましょう．どっちも六個ずつなので，$3,6,9,12,15,18$を$7$で割った余りには重なりが出ることになります．少し数式を使ってそれが$3k$と$3l$だったとしましょう．$k,l$は$1,2,3,4,5,6$のどれかです．$3k$と$3l$を$7$で割った余りが一緒なので，$3(k - l)$は7で割り切れます．よって$k - l$は7で割り切れます．これは$k = l$でないと無理です．

と言うわけで，$f(k^n)$が全部1でない限り0点しか取れないわけです．$k = 3$でやってみるとわかりますが，$3^1,3^2,3^3,3^4,3^5$，どれも7で割った余りは1になりません．$7$でなくても同じで，一般に素数$p$に対してある$k$が存在して，$k^1,k^2,\ldots,k^{p - 2}$を$p$で割った余りは1になりません（原始根の存在定理）．ちなみに$k^{p - 1}$を$p$で割った余りは，$k$が$p$の倍数でなければ1になります（Fermatの小定理）．というわけでこの問題は「いじわる」になる．

いわゆる指標の直交性と言うやつです．$G$を可換群，$F$を体，$\chi\colon G\to F^\times$を準同型写像とすると，$\sum_{g\in G}\chi(g)$は全ての$g \in G$に対して$\chi(g) = 1$である時に限り$G$の元の数で，そうでなければ$0$になります．$G = F_7^\times$（$F_7$は位数$7$の有限体），$F = F_7$，$\chi(x) = x^n$の時が上．まぁ小難しい話はいいですね……．