メモ

Coxeter群$(W,S)$とその表現$V$が与えられているとする．$V$がreflection faithfulである時，SoergelはSoergel bimoduleの理論を作った．ただ，このreflection faithfulという条件はちょっと強すぎる．例えば$W = W_0\ltimes X^*(T)$がaffine Weyl群の時に（通常のdualなのは表現論との都合），体$k$に対して$X_*(T)\otimes_{\mathbb{Z}} k\oplus k$上に$(w,\lambda)(\nu,r) = (w(\nu),r - \langle\lambda,\nu\rangle)$という形の表現構造を入れることができるが，これは$k$の標数が正の場合にreflection faithfulではない．（faithfulでないことがすぐわかる．定義からreflection faithfulならばfaithfulである．）

まぁ，表現がfaithfulでないとまずいのはほぼ明らか．Soergelの理論は各$w\in W$の$\mathrm{GL}(V)$への像しかみない．従って表現がfaithfulでないと区別のつかないWeyl群の元が出てくる．Soergel bimoduleはHecke環を圏論化するので，元が区別できないとまずいわけで．

Elias-Williamsonはうまく機能している場合のSoergel bimoduleの生成元と関係式を記述した．まぁそれはよいのだが，その生成元と関係式によって，$V$がreflection faithfulでない場合にもSoergel bimoduleの圏の類似を定義した．この圏もHecke環を圏論化するのだが，どうやらこれは「正しい」対象であるようで，その後の研究に使われていたり，parity sheafの圏との圏同値が示されたりしている．

で，この$V$の話．さすがに単に表現というだけではまずく（例えば自明表現では機能しないと思う），彼らは次の条件を課している．$k$を可換環とする．

有限階数自由$k$加群$V$および$\alpha_s^\vee\in V$，$\alpha_s\in V^* = \mathrm{Hom}_k(V,k)$ ($s\in S$) がrealizationであるとは以下を満たすこと．

1. $\langle \alpha_s^\vee,\alpha_s\rangle = 2$．
2. $s(v) = v - \langle v,\alpha_s\rangle \alpha_s^\vee$により$s\colon V\to V$を定めると，これは$W$の表現を与える．（同じことだが，braid relationを満たす．）
3. ある技術的条件を満たす．

この技術的条件は次の通り．

$s,t\in S$に対して，$st$の位数を$m_{s,t}$とし，有限であると仮定する．$x = \langle \alpha_s^\vee,\alpha_t\rangle$，$y = \langle \alpha_t^\vee,\alpha_s\rangle$とおく．このとき，$k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$に対して$[k]_x,[k]_y\in k$を以下で帰納的に定める．

\[ \begin{gathered} \ [0]_x = [0]_y = 0, [1]_x = [1]_y = 1, [2]_x = x, [2]_y = y,\\ \ [n + 1]_x = [2]_x[n]_y - [n - 1]_x,\\ \ [n + 1]_y = [2]_y[n]_x - [n - 1]_y. \end{gathered} \]

このとき，「技術的条件」とは$[m_{s,t}]_x = [m_{s,t}]_y = 0$を満たすことである．ちなみに帰納法ですぐわかるが$k$が奇数ならば$[k]_x = [k]_y$である．

なんだかよくわからない条件である．少し計算をしてみた．

$s,t$が$V$に可換に作用する場合を考える．つまり$\langle\alpha_s^\vee,\alpha_t\rangle = \langle\alpha_t^\vee,\alpha_s\rangle = 0$の場合．$[2]_x = [2]_y = 0$であるので，$[n + 1]_x = [n - 1]_x$．よって$[n]_x$が$0$になるのは$n$が偶数と同値．そもそもこのような表現が存在するのは$m_{s,t}$が偶数の場合のみなので，このときは常に条件が満たされるようだ．

（もう少し計算してみようかと思ったけどやめた．）

なお，$(st)^k$の作用を計算するとこの数が現れる．具体的には \[ \begin{aligned} (st)^k\alpha_s & = [2k + 1]_x \alpha_s - [2k]_y\alpha_t,\\ (st)^k\alpha_t & = [2k]_x\alpha_s - [2k - 1]_y\alpha_t \end{aligned} \] が成り立つ．（帰納法ですぐに示せる．）