2018年11月22日

メモ

Coxeter群(W,S)(W,S)とその表現VVが与えられているとする.VVがreflection faithfulである時,SoergelはSoergel bimoduleの理論を作った.ただ,このreflection faithfulという条件はちょっと強すぎる.例えばW=W0X(T)W = W_0\ltimes X^*(T)がaffine Weyl群の時に(通常のdualなのは表現論との都合),体kkに対してX(T)ZkkX_*(T)\otimes_{\mathbb{Z}} k\oplus k上に(w,λ)(ν,r)=(w(ν),rλ,ν)(w,\lambda)(\nu,r) = (w(\nu),r - \langle\lambda,\nu\rangle)という形の表現構造を入れることができるが,これはkkの標数が正の場合にreflection faithfulではない.(faithfulでないことがすぐわかる.定義からreflection faithfulならばfaithfulである.)

まぁ,表現がfaithfulでないとまずいのはほぼ明らか.Soergelの理論は各wWw\in WGL(V)\mathrm{GL}(V)への像しかみない.従って表現がfaithfulでないと区別のつかないWeyl群の元が出てくる.Soergel bimoduleはHecke環を圏論化するので,元が区別できないとまずいわけで.

Elias-Williamsonはうまく機能している場合のSoergel bimoduleの生成元と関係式を記述した.まぁそれはよいのだが,その生成元と関係式によって,VVがreflection faithfulでない場合にもSoergel bimoduleの圏の類似を定義した.この圏もHecke環を圏論化するのだが,どうやらこれは「正しい」対象であるようで,その後の研究に使われていたり,parity sheafの圏との圏同値が示されたりしている.

で,このVVの話.さすがに単に表現というだけではまずく(例えば自明表現では機能しないと思う),彼らは次の条件を課している.kkを可換環とする.

有限階数自由kk加群VVおよびαsV\alpha_s^\vee\in VαsV=Homk(V,k)\alpha_s\in V^* = \mathrm{Hom}_k(V,k) (sSs\in S) がrealizationであるとは以下を満たすこと.

  1. αs,αs=2\langle \alpha_s^\vee,\alpha_s\rangle = 2
  2. s(v)=vv,αsαss(v) = v - \langle v,\alpha_s\rangle \alpha_s^\veeによりs:VVs\colon V\to Vを定めると,これはWWの表現を与える.(同じことだが,braid relationを満たす.)
  3. ある技術的条件を満たす.

この技術的条件は次の通り.

s,tSs,t\in Sに対して,ststの位数をms,tm_{s,t}とし,有限であると仮定する.x=αs,αtx = \langle \alpha_s^\vee,\alpha_t\rangley=αt,αsy = \langle \alpha_t^\vee,\alpha_s\rangleとおく.このとき,kZ0k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}に対して[k]x,[k]yk[k]_x,[k]_y\in kを以下で帰納的に定める.

 [0]x=[0]y=0,[1]x=[1]y=1,[2]x=x,[2]y=y, [n+1]x=[2]x[n]y[n1]x, [n+1]y=[2]y[n]x[n1]y. \begin{gathered} \ [0]_x = [0]_y = 0, [1]_x = [1]_y = 1, [2]_x = x, [2]_y = y,\\ \ [n + 1]_x = [2]_x[n]_y - [n - 1]_x,\\ \ [n + 1]_y = [2]_y[n]_x - [n - 1]_y. \end{gathered}

このとき,「技術的条件」とは[ms,t]x=[ms,t]y=0[m_{s,t}]_x = [m_{s,t}]_y = 0を満たすことである.ちなみに帰納法ですぐわかるがkkが奇数ならば[k]x=[k]y[k]_x = [k]_yである.

なんだかよくわからない条件である.少し計算をしてみた.

s,ts,tVVに可換に作用する場合を考える.つまりαs,αt=αt,αs=0\langle\alpha_s^\vee,\alpha_t\rangle = \langle\alpha_t^\vee,\alpha_s\rangle = 0の場合.[2]x=[2]y=0[2]_x = [2]_y = 0であるので,[n+1]x=[n1]x[n + 1]_x = [n - 1]_x.よって[n]x[n]_x00になるのはnnが偶数と同値.そもそもこのような表現が存在するのはms,tm_{s,t}が偶数の場合のみなので,このときは常に条件が満たされるようだ.

(もう少し計算してみようかと思ったけどやめた.)

なお,(st)k(st)^kの作用を計算するとこの数が現れる.具体的には (st)kαs=[2k+1]xαs[2k]yαt,(st)kαt=[2k]xαs[2k1]yαt \begin{aligned} (st)^k\alpha_s & = [2k + 1]_x \alpha_s - [2k]_y\alpha_t,\\ (st)^k\alpha_t & = [2k]_x\alpha_s - [2k - 1]_y\alpha_t \end{aligned} が成り立つ.(帰納法ですぐに示せる.)

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